Номер 5, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

5. Сформулируйте свойство противоположных граней прямоугольного параллелепипеда; диагоналей прямоугольного параллелепипеда.

Свойство противоположных граней прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед — это многогранник, у которого все шесть граней являются прямоугольниками. Грани, не имеющие общих рёбер, называются противоположными. У параллелепипеда три пары таких граней.

Ключевое свойство заключается в том, что противоположные грани прямоугольного параллелепипеда параллельны и равны.

Это означает следующее:

1. Плоскости, содержащие противоположные грани, параллельны друг другу.

2. Противоположные грани конгруэнтны, то есть они имеют одинаковую форму и размеры (одинаковые длину и ширину).

Ответ: Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда параллельны и равны.

Свойство диагоналей прямоугольного параллелепипеда

Диагональ прямоугольного параллелепипеда — это отрезок, который соединяет две вершины, не принадлежащие одной и той же грани. Прямоугольный параллелепипед имеет четыре диагонали.

Основные свойства диагоналей:

1. Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны по длине.

2. Все диагонали пересекаются в одной точке, которая является центром симметрии параллелепипеда. Эта точка делит каждую диагональ пополам.

3. Существует фундаментальная связь между длиной диагонали и размерами параллелепипеда. Квадрат длины диагонали ($d$) равен сумме квадратов трёх его измерений — длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($c$). Эта зависимость выражается формулой (пространственная теорема Пифагора):
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.
Соответственно, длина диагонали вычисляется как:
$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

Ответ: Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Квадрат длины диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений ($d^2 = a^2 + b^2 + c^2$).