Номер 10, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

10. Площадь сечения правильной четырёхугольной пирамиды $RUSVW$ с ребром основания $a$ плоскостью $RUV$ равна $Q$. Найдите боковую поверхность пирамиды.

Пусть $R$ — вершина правильной четырёхугольной пирамиды $RUSVW$, а $USVW$ — её основание. Так как пирамида правильная, её основание — квадрат со стороной $a$. Секущая плоскость $RUV$ проходит через вершину пирамиды $R$ и две вершины основания $U$ и $V$. В квадрате $USVW$ вершины $U$ и $V$ являются противоположными, следовательно, сечение представляет собой равнобедренный треугольник $RUV$.

Основанием этого треугольника является диагональ квадрата $UV$. Длину диагонали находим по теореме Пифагора: $UV = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Высота треугольника $RUV$, проведённая из вершины $R$ к основанию $UV$, совпадает с высотой пирамиды $h$. Площадь сечения $Q$ равна площади треугольника $RUV$:$Q = \frac{1}{2} \cdot UV \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot h$.

Из этого равенства выразим высоту пирамиды $h$:$h = \frac{2Q}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}Q}{a}$.

Боковая поверхность пирамиды $S_{бок}$ состоит из четырёх равных равнобедренных треугольников (боковых граней). Площадь одной грани равна $\frac{1}{2}al$, где $l$ — апофема (высота боковой грани). Таким образом, площадь всей боковой поверхности равна:$S_{бок} = 4 \cdot \frac{1}{2}al = 2al$.

Апофему $l$ можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $h$ и половина стороны основания $\frac{a}{2}$, а гипотенузой — сама апофема $l$:$l^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$.

Подставим найденное ранее выражение для $h$:$l^2 = \left(\frac{\sqrt{2}Q}{a}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{2Q^2}{a^2} + \frac{a^2}{4}$. Приводя дроби к общему знаменателю, получаем:$l^2 = \frac{8Q^2 + a^4}{4a^2}$. Следовательно, апофема равна:$l = \sqrt{\frac{8Q^2 + a^4}{4a^2}} = \frac{\sqrt{8Q^2 + a^4}}{2a}$.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности, подставив найденное значение $l$ в формулу:$S_{бок} = 2al = 2a \cdot \frac{\sqrt{8Q^2 + a^4}}{2a} = \sqrt{8Q^2 + a^4}$.

Ответ: $\sqrt{a^4 + 8Q^2}$.