Номер 5, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

5. Нарисуйте призму $ABCDEF PQRSTU$, основания которой — правильные шестиугольники. Назовите:

а) плоскости, пересекающиеся с плоскостью $UQR$;

б) плоскости, пересекающиеся с прямой $FT$.

Для решения задачи сначала представим и опишем заданную призму. Призма `ABCDEFPQRSTU` имеет в основаниях два правильных шестиугольника. Исходя из стандартного порядка именования вершин, примем, что `ABCDEF` — это вершины нижнего основания, а `PQRSTU` — вершины верхнего основания. При этом вершины соединены боковыми ребрами в следующем порядке: `A` с `P`, `B` с `Q`, `C` с `R`, `D` с `S`, `E` с `T` и `F` с `U`. Таким образом, призма имеет 8 плоскостей, образующих ее поверхность: 2 плоскости оснований и 6 плоскостей боковых граней.

• Плоскость нижнего основания: `(ABCDEF)`
• Плоскость верхнего основания: `(PQRSTU)`
• Плоскости боковых граней: `(ABQP)`, `(BCRQ)`, `(CDSR)`, `(DETS)`, `(EFUT)`, `(FAUP)`

Теперь ответим на вопросы задачи.

а) плоскости, пересекающиеся с плоскостью UQR;

Плоскость `UQR` определяется тремя точками: `U`, `Q` и `R`. Все эти точки являются вершинами верхнего основания `PQRSTU`. Так как эти три точки не лежат на одной прямой, они однозначно задают плоскость, в которой лежит верхнее основание. Таким образом, плоскость `UQR` совпадает с плоскостью верхнего основания `(PQRSTU)`.

Две плоскости пересекаются, если они не параллельны. Найдем все плоскости призмы, которые не параллельны плоскости `(PQRSTU)`.

1. Плоскость нижнего основания `(ABCDEF)` параллельна плоскости верхнего основания `(PQRSTU)`. Следовательно, она не пересекает плоскость `UQR`.
2. Все шесть боковых граней призмы не параллельны плоскостям оснований. Каждая боковая грань пересекает плоскость верхнего основания по ребру, принадлежащему этому основанию.
   • Плоскость `(ABQP)` пересекает `(PQRSTU)` по прямой `PQ`.
   • Плоскость `(BCRQ)` пересекает `(PQRSTU)` по прямой `QR`.
   • Плоскость `(CDSR)` пересекает `(PQRSTU)` по прямой `RS`.
   • Плоскость `(DETS)` пересекает `(PQRSTU)` по прямой `ST`.
   • Плоскость `(EFUT)` пересекает `(PQRSTU)` по прямой `TU`.
   • Плоскость `(FAUP)` пересекает `(PQRSTU)` по прямой `UP`.

Таким образом, с плоскостью `UQR` пересекаются все шесть боковых граней призмы.

Ответ: `(ABQP)`, `(BCRQ)`, `(CDSR)`, `(DETS)`, `(EFUT)`, `(FAUP)`.

б) плоскости, пересекающиеся с прямой FT.

Прямая `FT` соединяет вершину `F` нижнего основания и вершину `T` верхнего основания. Согласно нашему описанию призмы, боковые ребра, выходящие из этих вершин, — это `FU` и `ET`. Значит, `FT` не является боковым ребром, а является диагональю призмы (в данном случае — диагональю боковой грани `EFUT`).

Прямая пересекает плоскость, если она имеет с ней хотя бы одну общую точку. Это возможно, если прямая пронзает плоскость в одной точке или если прямая целиком лежит в этой плоскости. Проверим каждую из восьми плоскостей призмы.

1. Плоскость нижнего основания `(ABCDEF)` содержит точку `F`. Так как точка `T` не лежит в этой плоскости, прямая `FT` не лежит в ней, а пересекает ее в точке `F`.
2. Плоскость верхнего основания `(PQRSTU)` содержит точку `T`. Так как точка `F` не лежит в этой плоскости, прямая `FT` пересекает ее в точке `T`.
3. Плоскость боковой грани `(EFUT)` содержит вершины `E, F, U, T`. Следовательно, она содержит и точки `F`, и `T`. Это означает, что вся прямая `FT` лежит в плоскости `(EFUT)`. Значит, они пересекаются.
4. Плоскость боковой грани `(FAUP)` содержит точку `F`. Точка `T` не принадлежит этой плоскости, поэтому прямая `FT` пересекает эту плоскость в точке `F`.
5. Плоскость боковой грани `(DETS)` содержит точку `T`. Точка `F` не принадлежит этой плоскости, поэтому прямая `FT` пересекает эту плоскость в точке `T`.
6. Плоскость боковой грани `(BCRQ)`. В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны, то есть `BC \parallel FE`. В призме боковые ребра параллельны, то есть `BQ \parallel FU`. Так как две пересекающиеся прямые `BC` и `BQ` в плоскости `(BCRQ)` параллельны двум пересекающимся прямым `FE` и `FU` в плоскости `(EFUT)`, то эти плоскости параллельны: `(BCRQ) \parallel (EFUT)`. Прямая `FT` лежит в плоскости `(EFUT)`, следовательно, она параллельна плоскости `(BCRQ)` и не пересекает ее.
7. Плоскости боковых граней `(ABQP)` и `(CDSR)`. Прямая `FT` проходит через внутреннюю область призмы. Она не параллельна этим граням. Следовательно, прямая `FT` пересекает каждую из этих плоскостей в некоторой точке.

Итак, прямая `FT` пересекает семь из восьми плоскостей, образующих поверхность призмы.

Ответ: `(ABCDEF)`, `(PQRSTU)`, `(ABQP)`, `(CDSR)`, `(DETS)`, `(EFUT)`, `(FAUP)`.