Номер 4, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

4. Сколько образуется линий при попарном пересечении трёх плоскостей?

а) 2;

б) 3;

в) 4;

г) 6.

Для определения количества линий, образующихся при попарном пересечении трёх плоскостей, необходимо рассмотреть все возможные варианты их взаимного расположения в пространстве. Обозначим три плоскости как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$.

Количество линий пересечения зависит от того, как именно расположены эти плоскости. Рассмотрим основные случаи:

1. Все три плоскости параллельны друг другу
В этом случае плоскости не пересекаются, и, следовательно, не образуется ни одной линии пересечения. Количество линий — 0.

2. Две плоскости параллельны, а третья их пересекает
Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$), а плоскость $\gamma$ их пересекает. Тогда пересечение $\alpha$ с $\gamma$ даст одну линию, и пересечение $\beta$ с $\gamma$ даст вторую линию. Эти две линии будут параллельны друг другу. Всего образуется 2 линии.

3. Все три плоскости пересекаются по одной общей прямой
Такая конфигурация похожа на страницы раскрытой книги, сходящиеся в переплёте. В этом случае все три плоскости имеют одну общую линию пересечения. Всего образуется 1 линия.

4. Плоскости попарно пересекаются в трех различных линиях
Это наиболее общий случай. Каждая пара плоскостей образует свою линию пересечения:

• $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по линии $l_1$.
• $\alpha$ и $\gamma$ пересекаются по линии $l_2$.
• $\beta$ и $\gamma$ пересекаются по линии $l_3$.

В этом случае образуется 3 различные линии. Эти три линии могут либо все пересекаться в одной общей точке (как сходятся стены в углу комнаты), либо быть параллельными друг другу (как боковые рёбра треугольной призмы).

В условии задачи не дано никаких уточнений об особом расположении плоскостей. В таких случаях принято рассматривать наиболее общий случай (случай 4). Кроме того, вопрос можно трактовать как поиск максимального возможного числа линий пересечения. Максимальное число линий равно числу возможных пар плоскостей, которое можно составить из трёх. Это число сочетаний из 3 по 2:

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3$

Таким образом, в общем случае при попарном пересечении трёх плоскостей образуется 3 линии. Среди предложенных вариантов ответа это соответствует варианту б).

Ответ: б) 3.