Номер 6, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

6. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а боковое ребро — 11 см. Найдите полную поверхность призмы.

Для нахождения полной поверхности правильной треугольной призмы необходимо сложить площади двух ее оснований и площадь боковой поверхности. Формула полной поверхности ($S_{полн}$):

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$

Найдем площадь основания ($S_{осн}$)

Основанием является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a = 6$ см. Его площадь вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим в формулу значение стороны:

$S_{осн} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ см².

Найдем площадь боковой поверхности ($S_{бок}$)

Боковая поверхность состоит из трех одинаковых прямоугольных граней. Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания ($P_{осн}$) на высоту призмы, которая равна боковому ребру ($h = 11$ см).

Периметр основания равен:

$P_{осн} = 3 \cdot a = 3 \cdot 6 = 18$ см.

Теперь найдем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 18 \cdot 11 = 198$ см².

Найдем полную поверхность призмы ($S_{полн}$)

Сложим удвоенную площадь основания и площадь боковой поверхности:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot (9\sqrt{3}) + 198 = 18\sqrt{3} + 198$ см².

Результат можно также записать, вынеся общий множитель 18 за скобки: $18(\sqrt{3} + 11)$ см².

Ответ: $(198 + 18\sqrt{3})$ см².