Номер 1, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

1. Три точки расположены на одинаковом расстоянии друг от друга. Можно ли выбрать ещё одну точку, равноудалённую от всех остальных?

1.

Да, можно. Ответ на этот вопрос зависит от того, рассматриваем ли мы точки, расположенные в одной плоскости, или в трехмерном пространстве, так как в условии задачи это не уточнено.

Исходное условие гласит, что три точки (назовем их А, В и С) расположены на одинаковом расстоянии друг от друга. Это означает, что эти точки являются вершинами равностороннего треугольника. Пусть длина стороны этого треугольника равна $a$, то есть $AB = BC = AC = a$. Нам нужно найти четвертую точку D, равноудаленную от точек А, В и С, то есть такую, что $DA = DB = DC$.

Если предположить, что все четыре точки должны лежать в одной плоскости, то искомая точка D должна быть равноудалена от трех вершин треугольника АВС. В планиметрии такая точка является центром описанной около треугольника окружности. У любого треугольника, в том числе и у равностороннего, существует единственная такая точка. Для равностороннего треугольника она является его геометрическим центром (точкой пересечения медиан, биссектрис и высот). Таким образом, в плоскости такая точка существует.

Если же мы не ограничены одной плоскостью и рассматриваем задачу в трехмерном пространстве, то возможностей становится больше. Множество всех точек пространства, равноудаленных от вершин А, В и С, — это прямая, которая перпендикулярна плоскости треугольника АВС и проходит через его центр описанной окружности. Любая точка на этой прямой удовлетворяет условию $DA = DB = DC$.

Среди этих точек есть две особенные, которые не только равноудалены от А, В и С, но и находятся от них на том же расстоянии $a$, на котором находятся сами точки А, В и С друг от друга. В этом случае все четыре точки (А, В, С и D) образуют вершины правильного тетраэдра — объемной фигуры, у которой все шесть ребер равны $a$.

Чтобы доказать существование такой точки, найдем ее расстояние $h$ до плоскости треугольника АВС. Пусть О — центр треугольника АВС. Расстояние от центра до любой вершины в равностороннем треугольнике (радиус описанной окружности) равно $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOD, где AO и OD ($h$) — катеты, а AD — гипотенуза. Мы хотим, чтобы $AD = a$. По теореме Пифагора:

$AD^2 = AO^2 + OD^2$

$a^2 = (\frac{a}{\sqrt{3}})^2 + h^2$

$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}$

$h = OD = a\sqrt{\frac{2}{3}}$

Так как мы получили действительное значение для высоты $h$, такая точка D существует. Более того, существует две такие точки, симметрично расположенные относительно плоскости треугольника АВС.

Ответ: Да, можно. В зависимости от условий, такая точка может быть не одна. Если все точки лежат в одной плоскости, то существует одна такая точка — центр равностороннего треугольника, образованного тремя исходными точками. Если точки могут располагаться в пространстве, то существует бесконечное множество таких точек (целая прямая), включая две точки, которые образуют с исходными правильный тетраэдр.