Номер 3, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

3. Какое наибольшее количество плоскостей можно провести через разные тройки из четырёх точек?

Для определения наибольшего возможного количества плоскостей, которые можно провести через разные тройки из четырёх точек, необходимо проанализировать различные пространственные конфигурации этих точек.

Ключевым геометрическим принципом является аксиома: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести ровно одну плоскость.

Пусть даны четыре точки. Сначала определим, сколько всего уникальных троек точек можно из них составить. Это комбинаторная задача на нахождение числа сочетаний из 4 элементов по 3. Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставляя наши значения $n=4$ (общее количество точек) и $k=3$ (количество точек в тройке), получаем:

$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 1} = 4$

Таким образом, мы можем составить 4 различные тройки точек. Это означает, что максимальное возможное количество плоскостей равно 4. Теперь нужно убедиться, что существует такое расположение точек, при котором все 4 тройки определяют разные плоскости.

Рассмотрим возможные случаи расположения точек:

Случай 1: Все четыре точки лежат в одной плоскости (компланарны). В этом случае, любая тройка этих точек также лежит в этой же плоскости. Следовательно, все 4 тройки будут определять одну и ту же плоскость. Итог: 1 плоскость.

Случай 2: Точки не лежат в одной плоскости (некомпланарны). Это общая конфигурация для четырёх точек в пространстве. Примером могут служить вершины тетраэдра. В этом случае никакие четыре точки не лежат в одной плоскости. Каждая тройка точек образует грань тетраэдра. Поскольку у тетраэдра 4 грани, и все они являются различными плоскостями, то каждая из 4-х возможных троек точек определяет свою уникальную плоскость. Итог: 4 плоскости.

Поскольку в вопросе требуется найти наибольшее количество плоскостей, мы выбираем случай, который даёт максимальный результат. Это случай некомпланарных точек.

Ответ: 4