пространственное моделирование, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

Пространственное моделирование

При изготовлении балки из цилиндрического бревна поступают следующим образом:

1) на торце бревна проводят диаметр;

2) делят его на пять равных частей;

3) второй диаметр проводят так, чтобы его проекция на первый составила $\frac{3}{5}$ его;

4) концы построенных диаметров принимают за вершины четырёхугольного сечения и удаляют излишки древесины.

Сравните прочность такой балки с прочностью балки с квадратным сечением, полученной из такого же бревна, учитывая, что прочность балки с прямоугольным сечением пропорциональна ширине и квадрату высоты сечения.

Для решения задачи необходимо сравнить прочность $P_1$ балки с прямоугольным сечением, полученной по описанной технологии, с прочностью $P_2$ балки с квадратным сечением, вырезанной из того же бревна. Прочность балки с прямоугольным сечением по условию пропорциональна её ширине $w$ и квадрату высоты $h$. Формула прочности: $P = k \cdot w \cdot h^2$, где $k$ — коэффициент пропорциональности.

Пусть диаметр исходного цилиндрического бревна равен $d$, а радиус — $R$, где $d=2R$.

1. Расчет прочности первой балки

Сечение первой балки представляет собой четырёхугольник, вершины которого являются концами двух диаметров, проведённых на торце бревна. Четырёхугольник, образованный концами двух диаметров окружности, всегда является прямоугольником. Найдём его размеры.

Пусть первый диаметр $d_1$ совпадает с осью Ox в декартовой системе координат с центром в начале. Второй диаметр $d_2$ образует с первым угол $\theta$. По условию, проекция второго диаметра на первый составляет $\frac{3}{5}$ его длины. Так как длины диаметров равны $d$, имеем:

$d \cdot |\cos\theta| = \frac{3}{5}d$

Отсюда следует, что $\cos\theta = \frac{3}{5}$.

Стороны полученного прямоугольника (ширина $w_1$ и высота $h_1$) соединяют концы разных диаметров. Квадраты длин сторон можно найти через радиус $R$ и косинус угла $\theta$ между диаметрами:

$w_1^2 = R^2(2 - 2\cos\theta) = \left(\frac{d}{2}\right)^2 \left(2 - 2 \cdot \frac{3}{5}\right) = \frac{d^2}{4} \left(2 - \frac{6}{5}\right) = \frac{d^2}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{d^2}{5}$

$h_1^2 = R^2(2 + 2\cos\theta) = \left(\frac{d}{2}\right)^2 \left(2 + 2 \cdot \frac{3}{5}\right) = \frac{d^2}{4} \left(2 + \frac{6}{5}\right) = \frac{d^2}{4} \cdot \frac{16}{5} = \frac{4d^2}{5}$

Таким образом, ширина балки $w_1 = \frac{d}{\sqrt{5}}$, а квадрат её высоты $h_1^2 = \frac{4d^2}{5}$.

Прочность первой балки $P_1$ равна:

$P_1 = k \cdot w_1 \cdot h_1^2 = k \cdot \frac{d}{\sqrt{5}} \cdot \frac{4d^2}{5} = k \frac{4d^3}{5\sqrt{5}}$

2. Расчет прочности балки с квадратным сечением

Наибольшая балка с квадратным сечением, которую можно вырезать из бревна, — это балка, у которой сечение вписано в окружность торца. Диагональ этого квадрата равна диаметру бревна $d$.

Пусть сторона квадрата равна $a$. По теореме Пифагора для квадрата с диагональю $d$:

$a^2 + a^2 = d^2 \implies 2a^2 = d^2 \implies a = \frac{d}{\sqrt{2}}$

Для этой балки ширина $w_2 = a$ и высота $h_2 = a$. Её прочность $P_2$ равна:

$P_2 = k \cdot w_2 \cdot h_2^2 = k \cdot a \cdot a^2 = k \cdot a^3 = k \cdot \left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^3 = k \frac{d^3}{2\sqrt{2}}$

3. Сравнение прочностей

Чтобы сравнить прочности, найдем их отношение $\frac{P_1}{P_2}$:

$\frac{P_1}{P_2} = \frac{k \frac{4d^3}{5\sqrt{5}}}{k \frac{d^3}{2\sqrt{2}}} = \frac{4}{5\sqrt{5}} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{1} = \frac{8\sqrt{2}}{5\sqrt{5}}$

Для удобства сравнения избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$\frac{P_1}{P_2} = \frac{8\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{5\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{10}}{25}$

Чтобы понять, больше или меньше это отношение единицы, сравним $(\frac{8\sqrt{10}}{25})^2$ с $1^2=1$:

$\left(\frac{8\sqrt{10}}{25}\right)^2 = \frac{64 \cdot 10}{625} = \frac{640}{625}$

Так как $640 > 625$, то дробь $\frac{640}{625} > 1$, а значит и $\frac{8\sqrt{10}}{25} > 1$.

Следовательно, $P_1 > P_2$.

Ответ: Прочность балки, изготовленной по описанной технологии, больше прочности балки с квадратным сечением. Их прочности соотносятся как $\frac{P_1}{P_2} = \frac{8\sqrt{10}}{25} \approx 1.012$, то есть первая балка прочнее примерно на 1.2%.