Номер 92, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

92. Пирамида $V_1P_1QW$ имеет своими вершинами вершины куба $PQVWP_1Q_1V_1W_1$ (рис. 129). Найдите полную поверхность этой пирамиды, учитывая, что ребро куба равно 1 м.

Рис. 129

Полная поверхность пирамиды $V_1P_1QW$ складывается из площадей её четырёх граней-треугольников: $\triangle P_1QW$ (основание), $\triangle V_1P_1Q$, $\triangle V_1QW$ и $\triangle V_1WP_1$ (боковые грани).

Найдём длины рёбер этой пирамиды, чтобы определить типы треугольников и вычислить их площади. Ребро куба по условию равно $a = 1$ м. Рёбрами пирамиды служат диагонали граней куба.

Длина диагонали грани куба (квадрата со стороной $a$) находится по теореме Пифагора и равна $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. При $a=1$ м, длина диагонали грани составляет $\sqrt{2}$ м.

Рассмотрим все рёбра пирамиды:

1. $P_1Q$ – диагональ грани $PQQ_1P_1$, её длина равна $\sqrt{2}$ м.

2. $P_1W$ – диагональ грани $PWW_1P_1$, её длина равна $\sqrt{2}$ м.

3. $QW$ – диагональ грани $PQVW$, её длина равна $\sqrt{2}$ м.

4. $V_1P_1$ – диагональ грани $P_1Q_1V_1W_1$, её длина равна $\sqrt{2}$ м.

5. $V_1Q$ – диагональ грани $QVV_1Q_1$, её длина равна $\sqrt{2}$ м.

6. $V_1W$ – диагональ грани $WVV_1W_1$, её длина равна $\sqrt{2}$ м.

Все шесть рёбер пирамиды имеют одинаковую длину $s = \sqrt{2}$ м. Это означает, что пирамида является правильным тетраэдром, а все её четыре грани — равные между собой равносторонние треугольники со стороной $s = \sqrt{2}$ м.

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $s = \sqrt{2}$ м:

$S_{\triangle} = \frac{(\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ м$^2$.

Полная поверхность пирамиды равна сумме площадей её четырёх одинаковых граней:

$S_{полн} = 4 \cdot S_{\triangle} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ м$^2$.

Ответ: $2\sqrt{3}$ м$^2$.