Номер 87, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

87. Перенесите в тетрадь рисунок 127, на котором изображена четырёхугольная пирамида $MNOPQ$ и отмечены точки $A$, $B$, $C$ на рёбрах $PQ$, $PM$, $OM$ соответственно. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$, $C$.

Рис. 127

Для построения сечения пирамиды $MNOPQ$ плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$, $C$, выполним следующие шаги:

1. Соединение точек, лежащих в одной грани.

   Точки $A$ и $B$ лежат в плоскости грани $MPQ$ (точка $A$ на ребре $PQ$, точка $B$ на ребре $PM$). Следовательно, мы можем соединить их отрезком. Отрезок $AB$ — это одна из сторон искомого сечения.

   Точки $B$ и $C$ лежат в плоскости грани $MOP$ (точка $B$ на ребре $PM$, точка $C$ на ребре $OM$). Следовательно, мы можем соединить их отрезком. Отрезок $BC$ — это вторая сторона искомого сечения.

2. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания.

   Для дальнейшего построения воспользуемся методом следов. Найдем линию пересечения (след) секущей плоскости $(ABC)$ с плоскостью основания пирамиды $(NOPQ)$.

   Точка $A$ уже лежит в плоскости основания. Чтобы построить прямую, нам нужна вторая точка. Найдем ее, продлив одну из уже построенных сторон сечения до пересечения с плоскостью основания.

   Прямая $BC$ лежит в секущей плоскости $(ABC)$ и в плоскости боковой грани $(MOP)$. Прямая $OP$ лежит в плоскости основания $(NOPQ)$ и в той же плоскости боковой грани $(MOP)$. Поскольку прямые $BC$ и $OP$ лежат в одной плоскости $(MOP)$ и не параллельны (по условию задачи), они пересекаются. Обозначим точку их пересечения $K$.

   $K = BC \cap OP$

   Так как точка $K$ лежит на прямой $BC$, она принадлежит секущей плоскости $(ABC)$. Так как точка $K$ лежит на прямой $OP$, она принадлежит плоскости основания $(NOPQ)$.

   Таким образом, прямая $AK$ является следом секущей плоскости на плоскости основания.

3. Нахождение новой точки сечения.

   Проведем прямую через точки $A$ и $K$. Эта прямая лежит одновременно и в секущей плоскости, и в плоскости основания. Она пересечет ребра основания, которые не проходят через точку $A$.

   Прямая $AK$ пересекает ребро $NO$ в некоторой точке. Обозначим эту точку $D$.

   $D = AK \cap NO$

   Точка $D$ является четвертой вершиной искомого сечения.

4. Завершение построения сечения.

   Мы получили четыре вершины сечения: $A$, $B$, $C$ и $D$. Теперь соединим их последовательно.

   Точки $C$ и $D$ лежат в плоскости грани $MNO$ (точка $C$ на ребре $OM$, точка $D$ на ребре $NO$). Соединяем их отрезком $CD$.

   Точки $D$ и $A$ лежат в плоскости основания $NOPQ$ (точка $D$ на ребре $NO$, точка $A$ на ребре $PQ$). Соединяем их отрезком $DA$.

   В результате мы получили замкнутый многоугольник — четырехугольник $ABCD$.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник $ABCD$.