Номер 84, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

84. В правильной треугольной призме плоскость, проходящая через сторону её основания и противоположную вершину другого основания, делит полную поверхность призмы в отношении 2 : 3. Найдите эту поверхность, учитывая, что ребро основания равно $a$.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — основания. Ребро основания равно $a$, то есть $AB = BC = AC = a$. Пусть высота призмы равна $h$, то есть $AA_1 = BB_1 = CC_1 = h$.

1. Найдем площадь полной поверхности призмы

Площадь полной поверхности призмы ($S_{полн}$) складывается из площадей двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$). Основание призмы — правильный треугольник со стороной $a$. Его площадь: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. Боковая поверхность состоит из трех одинаковых прямоугольников со сторонами $a$ и $h$. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 3ah$. Таким образом, площадь полной поверхности призмы: $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + 3ah = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} + 3ah$.

2. Определим, как плоскость делит поверхность призмы

Рассмотрим плоскость, проходящую через сторону основания $AB$ и противоположную вершину другого основания $C_1$. Эта плоскость задается точками $A, B, C_1$. Данная плоскость делит всю поверхность призмы на две части, $S_1$ и $S_2$.

Первая часть поверхности ($S_1$) состоит из площади нижнего основания $ABC$, части боковой грани $ACC_1A_1$ (а именно, треугольника $ACC_1$) и части боковой грани $BCC_1B_1$ (треугольника $BCC_1$). Площадь основания $S_{ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. Боковые грани $ACC_1A_1$ и $BCC_1B_1$ — это прямоугольники. Диагональ $AC_1$ делит прямоугольник $ACC_1A_1$ на два равных прямоугольных треугольника. Площадь треугольника $ACC_1$ равна половине площади прямоугольника $ACC_1A_1$: $S_{ACC_1} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CC_1 = \frac{1}{2}ah$. Аналогично, $S_{BCC_1} = \frac{1}{2}ah$. Следовательно, площадь первой части поверхности: $S_1 = S_{ABC} + S_{ACC_1} + S_{BCC_1} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}ah + \frac{1}{2}ah = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + ah$.

Вторая часть поверхности ($S_2$) состоит из оставшихся частей: площади верхнего основания $A_1B_1C_1$, площади боковой грани $ABB_1A_1$, и оставшихся частей боковых граней $ACC_1A_1$ и $BCC_1B_1$ (треугольников $A_1C_1A$ и $B_1C_1B$). Площадь верхнего основания $S_{A_1B_1C_1} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$. Площадь грани $ABB_1A_1$ равна $ah$. Площади треугольников $A_1C_1A$ и $B_1C_1B$ равны по $\frac{1}{2}ah$. Следовательно, площадь второй части поверхности: $S_2 = S_{A_1B_1C_1} + S_{ABB_1A_1} + S_{A_1C_1A} + S_{B_1C_1B} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + ah + \frac{1}{2}ah + \frac{1}{2}ah = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + 2ah$.

Проверим, что $S_1 + S_2 = S_{полн}$: $S_1 + S_2 = (\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + ah) + (\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + 2ah) = \frac{2a^2 \sqrt{3}}{4} + 3ah = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} + 3ah = S_{полн}$. Расчеты верны.

3. Используем заданное отношение площадей для нахождения высоты

По условию, площади $S_1$ и $S_2$ относятся как 2 : 3. Сравнивая выражения для $S_1 = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + ah$ и $S_2 = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + 2ah$, видим, что $S_1 < S_2$, так как $a>0$ и $h>0$. Следовательно, отношение $\frac{S_1}{S_2} = \frac{2}{3}$.

Составим и решим уравнение: $\frac{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + ah}{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + 2ah} = \frac{2}{3}$. Используя свойство пропорции, получаем: $3 \cdot (\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + ah) = 2 \cdot (\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} + 2ah)$. $\frac{3a^2 \sqrt{3}}{4} + 3ah = \frac{2a^2 \sqrt{3}}{4} + 4ah$. $\frac{3a^2 \sqrt{3}}{4} - \frac{2a^2 \sqrt{3}}{4} = 4ah - 3ah$. $\frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = ah$. Поскольку $a \neq 0$, разделим обе части на $a$: $h = \frac{a \sqrt{3}}{4}$.

4. Найдем полную поверхность призмы

Теперь, зная $h$, мы можем вычислить $S_{полн}$, подставив выражение для $h$ в формулу полной поверхности: $S_{полн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} + 3ah = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} + 3a \left( \frac{a \sqrt{3}}{4} \right)$. $S_{полн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} + \frac{3a^2 \sqrt{3}}{4}$. Приведем дроби к общему знаменателю 4: $S_{полн} = \frac{2a^2 \sqrt{3}}{4} + \frac{3a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{5a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $S_{полн} = \frac{5a^2 \sqrt{3}}{4}$.