Номер 77, страница 44 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

77. Точки $K$ и $L$ выбраны на рёбрах $DA$ и $DC$ призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, а точка $M$ — на луче $BB_1$ за точкой $B_1$ (рис. 121). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте сечение призмы плоскостью $KLM$.

Рис. 121

Построение сечения призмы плоскостью KLM

Построение искомого сечения призмы плоскостью $KLM$ выполняется пошагово с использованием метода следов. Секущая плоскость обозначается как $\alpha$.

1. Соединение точек в плоскости основания.
Точки $K$ и $L$ лежат в одной плоскости — плоскости нижнего основания $(ABCD)$. Также они по определению принадлежат секущей плоскости $\alpha$. Следовательно, отрезок $KL$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $ABCD$ и, таким образом, является одной из сторон искомого сечения.

2. Построение следа секущей плоскости на грани $AA_1B_1B$.
Чтобы найти линию пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью грани $AA_1B_1B$, нужно найти две общие точки этих плоскостей. Одна точка, $M$, уже известна. Для нахождения второй точки продлим прямую $KL$, лежащую в плоскости основания, до пересечения с прямой $AB$, также лежащей в плоскости основания. - Пусть $P = KL \cap AB$. - Точка $P$ принадлежит прямой $KL$, следовательно, $P \in \alpha$. - Точка $P$ принадлежит прямой $AB$, следовательно, она лежит в плоскости грани $(AA_1B_1B)$. - Таким образом, прямая $PM$ является линией пересечения (следом) секущей плоскости $\alpha$ с плоскостью грани $(AA_1B_1B)$.

3. Нахождение вершин сечения на рёбрах грани $AA_1B_1B$.
Прямая $PM$ пересекает рёбра призмы, принадлежащие грани $AA_1B_1B$. - $N = PM \cap AA_1$. Точка $N$ — вершина сечения на ребре $AA_1$. - $T = PM \cap A_1B_1$. Точка $T$ — вершина сечения на ребре $A_1B_1$. Отрезок $NT$ является стороной сечения, лежащей на грани $AA_1B_1B$.

4. Построение следа секущей плоскости на грани $BB_1C_1C$.
Действуем аналогично шагу 2. Продлим прямую $KL$ до пересечения с прямой $BC$. - Пусть $Q = KL \cap BC$. - Точка $Q$ принадлежит прямой $KL$ (значит, $Q \in \alpha$) и прямой $BC$ (значит, $Q$ лежит в плоскости грани $(BB_1C_1C)$). - Точка $M$ также принадлежит обеим этим плоскостям. - Следовательно, прямая $QM$ является следом секущей плоскости $\alpha$ на плоскости грани $(BB_1C_1C)$.

5. Нахождение вершин сечения на рёбрах грани $BB_1C_1C$.
Прямая $QM$ пересекает рёбра призмы, принадлежащие грани $BB_1C_1C$. - $R = QM \cap CC_1$. Точка $R$ — вершина сечения на ребре $CC_1$. - $S = QM \cap B_1C_1$. Точка $S$ — вершина сечения на ребре $B_1C_1$. Отрезок $RS$ является стороной сечения, лежащей на грани $BB_1C_1C$.

6. Завершение построения многоугольника сечения.
Мы нашли все вершины искомого сечения: $N, K, L, R, S, T$. Теперь последовательно соединим их отрезками, убедившись, что каждая пара соединяемых точек лежит на одной грани призмы: - $NK$: точки $N \in AA_1$ и $K \in DA$ лежат на грани $AA_1D_1D$. - $KL$: лежит на грани $ABCD$ (по шагу 1). - $LR$: точки $L \in DC$ и $R \in CC_1$ лежат на грани $DD_1C_1C$. - $RS$: лежит на грани $BB_1C_1C$ (по шагу 5). - $ST$: точки $S \in B_1C_1$ и $T \in A_1B_1$ лежат на грани $A_1B_1C_1D_1$. - $TN$: лежит на грани $AA_1B_1B$ (по шагу 3).

Полученный шестиугольник $NKLRST$ и является искомым сечением призмы плоскостью $KLM$.

Рис. 1. Построение сечения призмы плоскостью KLM.

Ответ: Искомым сечением является шестиугольник $NKLRST$, вершины которого лежат на рёбрах $AA_1$, $DA$, $DC$, $CC_1$, $B_1C_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Построение шестиугольника показано на рисунке и подробно описано в шагах выше.