Номер 72, страница 43 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

72. Постройте сечение четырёхугольной призмы $RSTVR_1S_1T_1V_1$ плоскостью $ABC$, учитывая, что точки $A, B, C$ выбраны соответственно на рёбрах $RS, RV, TT_1$ (рис. 120).

Рис. 120

Для построения искомого сечения воспользуемся методом следов. Этот метод заключается в построении линий пересечения (следов) секущей плоскости с плоскостями граней многогранника.

1. Точки $A$ и $B$ лежат на ребрах $RS$ и $RV$ соответственно. Оба эти ребра принадлежат плоскости нижнего основания $(RSTV)$. Следовательно, отрезок $AB$ является частью искомого сечения и лежит на грани $RSTV$.
2. Прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, является следом секущей плоскости $(ABC)$ на плоскости нижнего основания $(RSTV)$. Обозначим эту прямую $l$.
3. Для построения сечения на грани $VV_1T_1T$, найдем точку пересечения секущей плоскости с этой гранью. Продлим прямую $l$ (прямую $AB$) до пересечения с прямой $VT$. Точку их пересечения обозначим $P$.
   • Точка $P$ принадлежит прямой $l$, а значит, и секущей плоскости $(ABC)$.
   • Точка $P$ принадлежит прямой $VT$, а значит, и плоскости боковой грани $(VV_1T_1T)$.
   Точка $C$ по условию также принадлежит плоскости грани $(VV_1T_1T)$ (так как лежит на ребре $TT_1$). Таким образом, прямая $PC$ является линией пересечения (следом) секущей плоскости с плоскостью грани $(VV_1T_1T)$.
4. Прямая $PC$ пересекает ребро $VV_1$ в некоторой точке $D$. Точка $D$ является вершиной искомого сечения. Теперь мы можем построить два отрезка сечения:
   • Точки $B$ и $D$ лежат в плоскости грани $(VV_1R_1R)$, поэтому отрезок $BD$ — сторона сечения.
   • Точки $D$ и $C$ лежат в плоскости грани $(VV_1T_1T)$, поэтому отрезок $DC$ — сторона сечения.
5. Аналогично найдем точку сечения на ребре $SS_1$. Продлим прямую $l$ (прямую $AB$) до пересечения с прямой $ST$. Точку их пересечения обозначим $Q$.
   • Точка $Q$ принадлежит прямой $l$, а значит, и секущей плоскости $(ABC)$.
   • Точка $Q$ принадлежит прямой $ST$, а значит, и плоскости боковой грани $(SS_1T_1T)$.
   Точка $C$ также принадлежит плоскости грани $(SS_1T_1T)$. Следовательно, прямая $QC$ является следом секущей плоскости на плоскости грани $(SS_1T_1T)$.
6. Прямая $QC$ пересекает ребро $SS_1$ в некоторой точке $E$. Точка $E$ является еще одной вершиной искомого сечения.
7. Теперь мы можем построить оставшиеся стороны сечения:
   • Точки $C$ и $E$ лежат в плоскости грани $(SS_1T_1T)$, поэтому отрезок $CE$ — сторона сечения.
   • Точки $E$ и $A$ лежат в плоскости грани $(RR_1S_1S)$, поэтому отрезок $EA$ — сторона сечения.

В результате последовательного соединения точек $A \rightarrow B \rightarrow D \rightarrow C \rightarrow E \rightarrow A$ получаем замкнутый многоугольник, который является искомым сечением призмы.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $ABDCE$.