Номер 69, страница 43 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

69. Изобразите прямоугольный параллелепипед $TPQRT_1P_1Q_1R_1$ и постройте его сечение плоскостью, которая проходит через прямую $T_1Q_1$ и вершину $R$. Найдите площадь этого сечения, учитывая, что рёбра $RT$ и $RQ$ равны друг другу и равны $l$, а радиус окружности, описанной около четырёхугольника $RQQ_1R_1$, равен $a$.

Построение сечения

1. Изобразим прямоугольный параллелепипед $TPQRT_{1}P_{1}Q_{1}R_{1}$. В прямоугольном параллелепипеде все грани являются прямоугольниками, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Обозначим вершины так, чтобы грань $TPQR$ была нижним основанием, а $T_{1}P_{1}Q_{1}R_{1}$ — верхним.

2. Согласно условию, ребра $RT$ и $RQ$ равны $l$. Так как $TPQR$ является гранью прямоугольного параллелепипеда, это прямоугольник. Поскольку его смежные стороны $RT$ и $RQ$ равны, грань $TPQR$ является квадратом со стороной $l$.

3. Секущая плоскость проходит через прямую $T_{1}Q_{1}$ и вершину $R$. Эти три точки — $T_1$, $Q_1$ и $R$ — однозначно определяют секущую плоскость.

4. Чтобы построить сечение, соединим указанные точки отрезками, лежащими в гранях параллелепипеда.
— Отрезок $T_{1}Q_{1}$ соединяет две вершины на верхней грани и является стороной сечения.
— Отрезок $RT_{1}$ соединяет вершины на боковой грани $RTT_{1}R_{1}$ и является второй стороной сечения.
— Отрезок $RQ_{1}$ соединяет вершины на боковой грани $RQQ_{1}R_{1}$ и является третьей стороной сечения.

Следовательно, искомое сечение представляет собой треугольник $RT_{1}Q_{1}$.

Нахождение площади сечения

Площадь сечения равна площади треугольника $RT_{1}Q_{1}$. Чтобы её найти, определим длины сторон этого треугольника. Обозначим высоту параллелепипеда (длину ребер $RR_1$, $QQ_1$ и т.д.) как $h$.

1. Найдём длину стороны $T_{1}Q_{1}$. Эта сторона является диагональю квадрата $T_{1}P_{1}Q_{1}R_{1}$ со стороной $l$. По теореме Пифагора для треугольника $T_{1}R_{1}Q_{1}$:
$T_{1}Q_{1} = \sqrt{T_{1}R_{1}^2 + R_{1}Q_{1}^2} = \sqrt{l^2 + l^2} = \sqrt{2l^2} = l\sqrt{2}$.

2. Найдём длины сторон $RT_{1}$ и $RQ_{1}$. Они являются диагоналями боковых граней $RTT_{1}R_{1}$ и $RQQ_{1}R_{1}$ соответственно. Эти грани — прямоугольники со сторонами $l$ и $h$. Длины их диагоналей равны:
$RT_{1} = \sqrt{RT^2 + TT_{1}^2} = \sqrt{l^2 + h^2}$
$RQ_{1} = \sqrt{RQ^2 + QQ_{1}^2} = \sqrt{l^2 + h^2}$
Поскольку $RT_{1} = RQ_{1}$, треугольник $RT_{1}Q_{1}$ является равнобедренным с основанием $T_{1}Q_{1}$.

3. Используем второе условие: радиус окружности, описанной около четырехугольника $RQQ_{1}R_{1}$, равен $a$. Грань $RQQ_{1}R_{1}$ — это прямоугольник. Диаметр описанной окружности прямоугольника равен длине его диагонали. Таким образом, диагональ $RQ_1$ равна диаметру $2a$.
$RQ_1 = 2a$.

4. Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника $RT_{1}Q_{1}$:
Основание $T_{1}Q_{1} = l\sqrt{2}$.
Боковые стороны $RT_{1} = RQ_{1} = 2a$.

5. Вычислим площадь $S$ треугольника $RT_{1}Q_{1}$. Проведём высоту $RM$ из вершины $R$ к основанию $T_{1}Q_{1}$. В равнобедренном треугольнике высота также является медианой, поэтому точка $M$ — середина отрезка $T_{1}Q_{1}$.
Длина отрезка $T_{1}M$ составляет половину длины основания:
$T_{1}M = \frac{1}{2} T_{1}Q_{1} = \frac{l\sqrt{2}}{2}$.
Высоту $RM$ найдём из прямоугольного треугольника $RMT_{1}$ по теореме Пифагора:
$RM = \sqrt{RT_{1}^2 - T_{1}M^2} = \sqrt{(2a)^2 - \left(\frac{l\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{4a^2 - \frac{2l^2}{4}} = \sqrt{4a^2 - \frac{l^2}{2}} = \sqrt{\frac{8a^2 - l^2}{2}}$.

6. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:
$S = \frac{1}{2} \cdot T_{1}Q_{1} \cdot RM = \frac{1}{2} \cdot l\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{8a^2 - l^2}{2}} = \frac{1}{2} \cdot l\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{8a^2 - l^2}}{\sqrt{2}} = \frac{l}{2}\sqrt{8a^2 - l^2}$.

Ответ: $\frac{l}{2}\sqrt{8a^2 - l^2}$