Номер 64, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

64. Изобразите куб $MNOPM_1N_1O_1P_1$ и отметьте середины $A$, $B$ и $C$ рёбер $NM$, $NO$ и $NN_1$.

Используя полученный рисунок:

а) постройте сечение куба плоскостью $ABC$;

б) докажите, что треугольник $ABC$ правильный;

в) найдите площадь треугольника $ABC$, приняв ребро куба равным 1 м.

Сначала изобразим куб $MN O P M_1 N_1 O_1 P_1$. Вершины нижнего основания: M, N, O, P. Вершины верхнего основания: $M_1, N_1, O_1, P_1$, расположенные соответственно над M, N, O, P. Рёбра куба, выходящие из вершины N, это NM, NO и $NN_1$.

Отметим точки A, B и C, которые являются серединами этих рёбер:

• A – середина ребра NM.
• B – середина ребра NO.
• C – середина ребра $NN_1$.

а)

Для построения сечения куба плоскостью ABC необходимо соединить точки A, B и C, лежащие на рёбрах куба.

1. Соединяем точки A и B. Так как обе точки лежат в плоскости грани MNOP, то отрезок AB принадлежит этой грани.
2. Соединяем точки B и C. Так как обе точки лежат в плоскости грани $NOO_1N_1$, то отрезок BC принадлежит этой грани.
3. Соединяем точки C и A. Так как обе точки лежат в плоскости грани $MNN_1M_1$, то отрезок AC принадлежит этой грани.

В результате получаем треугольник ABC, все стороны которого лежат на гранях куба. Этот треугольник и является искомым сечением.

Ответ: Сечение куба плоскостью ABC является треугольник ABC.

б)

Чтобы доказать, что треугольник ABC правильный, нужно показать, что все его стороны равны, то есть $AB = BC = AC$.

Пусть ребро куба равно $a$. Тогда, по условию, точки A, B, C являются серединами рёбер, поэтому $NA = NB = NC = a/2$.

Рассмотрим треугольники $\triangle NAB, \triangle NBC, \triangle NAC$. Эти треугольники являются прямоугольными, так как рёбра куба NM, NO и $NN_1$ взаимно перпендикулярны в вершине N.

• В прямоугольном треугольнике $\triangle NAB$ (угол $\angle ANB = 90^\circ$):
  По теореме Пифагора: $AB^2 = NA^2 + NB^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2 = a^2/4 + a^2/4 = 2a^2/4 = a^2/2$.
  Следовательно, $AB = \sqrt{a^2/2} = a/\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
• В прямоугольном треугольнике $\triangle NBC$ (угол $\angle BNC = 90^\circ$):
  По теореме Пифагора: $BC^2 = NB^2 + NC^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2 = a^2/4 + a^2/4 = 2a^2/4 = a^2/2$.
  Следовательно, $BC = \sqrt{a^2/2} = a/\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
• В прямоугольном треугольнике $\triangle NAC$ (угол $\angle ANC = 90^\circ$):
  По теореме Пифагора: $AC^2 = NA^2 + NC^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2 = a^2/4 + a^2/4 = 2a^2/4 = a^2/2$.
  Следовательно, $AC = \sqrt{a^2/2} = a/\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Так как $AB = BC = AC = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, все стороны треугольника ABC равны. Это означает, что треугольник ABC является правильным (равносторонним).

Ответ: Что и требовалось доказать.

в)

По условию, ребро куба равно 1 м, то есть $a = 1$ м.

Из пункта б) мы знаем, что сторона правильного треугольника ABC равна $s = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Подставим значение $a=1$ м: $s = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ м.

Площадь правильного треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле: $S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$.

Подставим значение стороны $s = \frac{\sqrt{2}}{2}$ м в формулу площади: $S_{ABC} = \frac{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{2}{4} \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{8}$ м$^2$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{8}$ м$^2$.