Номер 2, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

2. Определите вид фигуры, которая является сечением куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через вершины A, C и $D_1$.

Чтобы определить вид фигуры, являющейся сечением куба, построим это сечение. Секущая плоскость проходит через три вершины куба: A, C и D₁.

1. Вершины A и C лежат в одной грани — нижней грани ABCD. Следовательно, отрезок AC является линией пересечения секущей плоскости с гранью ABCD. Этот отрезок является стороной искомого сечения.

2. Вершины C и D₁ лежат в одной грани — задней грани DCC₁D₁. Следовательно, отрезок CD₁ является линией пересечения секущей плоскости с гранью DCC₁D₁ и второй стороной сечения.

3. Вершины A и D₁ лежат в одной грани — левой боковой грани ADD₁A₁. Следовательно, отрезок AD₁ является линией пересечения секущей плоскости с гранью ADD₁A₁ и третьей стороной сечения.

Таким образом, сечением является треугольник ACD₁.

Теперь определим вид этого треугольника. Для этого найдем длины его сторон. Пусть длина ребра куба равна $a$.

• Сторона AC является диагональю квадрата ABCD. По теореме Пифагора, ее длина $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
• Сторона CD₁ является диагональю квадрата DCC₁D₁. Ее длина $CD_1 = \sqrt{DC^2 + DD_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
• Сторона AD₁ является диагональю квадрата ADD₁A₁. Ее длина $AD_1 = \sqrt{AD^2 + DD_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Поскольку все три стороны треугольника ACD₁ равны между собой ($AC = CD_1 = AD_1$), этот треугольник является равносторонним.

Ответ: равносторонний треугольник.