Номер 67, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

67. На рисунке 117 изображена правильная пи-рамида $RSXY$, у которой грань основания равна боковой грани. На её рёбрах $RS$ и $RY$ отмечены их середины $A$ и $B$. Сделайте такой рисунок в тетради и постройте сечение

Рис. 117

пирамиды плоскостью $ABX$. Докажите, что треугольник $ABX$ является равнобедренным, и найдите его периметр и площадь, учитывая, что ребро пирамиды равно $a$.

По условию, $RSXY$ – правильная пирамида. Это означает, что в её основании лежит правильный многоугольник (в данном случае, треугольник $SXY$), а вершина $R$ проецируется в центр основания. Также дано, что "грань основания равна боковой грани" и "ребро пирамиды равно $a$". Из этих двух условий следует, что все рёбра пирамиды равны между собой и равны $a$. Таким образом, $RSXY$ – это правильный тетраэдр, у которого все грани являются равносторонними треугольниками со стороной $a$.

Точки $A$ и $B$ – середины рёбер $RS$ и $RY$ соответственно. Значит, $RA = AS = RB = BY = \frac{a}{2}$.

Построение сечения
Секущая плоскость проходит через три точки $A$, $B$ и $X$, не лежащие на одной прямой. Чтобы построить сечение, достаточно соединить эти точки отрезками.

1. Соединяем точки $A$ и $B$, так как они лежат в одной грани $RSY$. Отрезок $AB$ – след секущей плоскости на грани $RSY$.
2. Соединяем точки $A$ и $X$, так как они лежат в одной грани $RSX$. Отрезок $AX$ – след секущей плоскости на грани $RSX$.
3. Соединяем точки $B$ и $X$, так как они лежат в одной грани $RXY$. Отрезок $BX$ – след секущей плоскости на грани $RXY$.

Полученный треугольник $ABX$ и есть искомое сечение.

Доказательство, что треугольник ABX является равнобедренным
Для доказательства найдём длины сторон треугольника $ABX$.
1. Рассмотрим грань $RSY$. Это равносторонний треугольник со стороной $a$. Точки $A$ и $B$ – середины сторон $RS$ и $RY$. Следовательно, отрезок $AB$ является средней линией треугольника $RSY$. Длина средней линии равна половине длины основания $SY$:
$AB = \frac{1}{2} SY = \frac{a}{2}$.
2. Рассмотрим грань $RSX$. Это равносторонний треугольник со стороной $a$. Отрезок $AX$ соединяет вершину $X$ с серединой противолежащей стороны $RS$. Таким образом, $AX$ является медианой (а также высотой и биссектрисой) в равностороннем треугольнике $RSX$. Длину высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ можно найти по формуле $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$.
$AX = \frac{\sqrt{3}}{2}a$.
3. Рассмотрим грань $RXY$. Это также равносторонний треугольник со стороной $a$. Отрезок $BX$ соединяет вершину $X$ с серединой противолежащей стороны $RY$. Аналогично пункту 2, $BX$ является медианой в равностороннем треугольнике $RXY$.
$BX = \frac{\sqrt{3}}{2}a$.
Так как $AX = BX = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, треугольник $ABX$ имеет две равные стороны, а значит, является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Нахождение периметра треугольника ABX
Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.
$P_{ABX} = AB + AX + BX$
Подставим найденные значения длин сторон:
$P_{ABX} = \frac{a}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{2} + a\sqrt{3} = a(\frac{1}{2} + \sqrt{3})$
Ответ: $P_{ABX} = a(\frac{1}{2} + \sqrt{3})$.

Нахождение площади треугольника ABX
Площадь треугольника $ABX$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В равнобедренном треугольнике $ABX$ в качестве основания удобно взять сторону $AB$. Проведём высоту $XH$ из вершины $X$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому $H$ – середина $AB$.
Длина основания $AB = \frac{a}{2}$.
Длина отрезка $AH = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a}{4}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AXH$. По теореме Пифагора:
$AX^2 = AH^2 + XH^2$
Отсюда найдём высоту $XH$:
$XH^2 = AX^2 - AH^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{4}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{16} = \frac{12a^2}{16} - \frac{a^2}{16} = \frac{11a^2}{16}$
$XH = \sqrt{\frac{11a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{11}}{4}$.
Теперь вычислим площадь треугольника $ABX$:
$S_{ABX} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot XH = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{11}}{4} = \frac{a^2\sqrt{11}}{16}$.
Ответ: $S_{ABX} = \frac{a^2\sqrt{11}}{16}$.