Номер 71, страница 43 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

71. На рисунке 119 точки $U, V, W$ выбраны на рёбрах $AB, BC, AD$ пирамиды $ABCDE$.

Сделайте такой рисунок в тетради и постройте сечение пирамиды плоскостью $UVW$.

Рис. 119

Для построения сечения пирамиды, изображенной на рисунке, плоскостью UVW, необходимо последовательно найти точки пересечения этой плоскости с ребрами пирамиды. Построение будем выполнять методом следов.

1. Построение линий сечения в известных гранях.

   Точки U и V лежат в плоскости грани ABC, так как $U \in AB$ и $V \in BC$. Соединяем эти точки отрезком. Отрезок UV — это линия пересечения секущей плоскости с гранью ABC.

   Аналогично, точки U и W лежат в плоскости грани ABD, так как $U \in AB$ и $W \in AD$. Соединяем их отрезком UW. Этот отрезок — линия пересечения секущей плоскости с гранью ABD.

2. Нахождение следа секущей плоскости на плоскости основания BCD.

   След плоскости — это прямая, по которой она пересекается с другой плоскостью. Нам нужно найти прямую пересечения секущей плоскости UVW и плоскости основания BCD. Для построения прямой достаточно двух точек.

   Одна точка нам уже известна — это точка V, так как она по условию принадлежит секущей плоскости и одновременно лежит на ребре BC, которое находится в плоскости основания BCD.

   Для нахождения второй точки найдем точку пересечения какой-либо прямой, лежащей в секущей плоскости, с плоскостью основания. Возьмем прямую UW. Прямая UW и прямая BD, лежащая в основании, обе принадлежат плоскости грани ABD. Так как они лежат в одной плоскости и не параллельны (в общем случае), они пересекаются. Продлим отрезки UW и BD до их пересечения в точке P. Таким образом, $P = UW \cap BD$.

   Поскольку точка P лежит на прямой UW, она принадлежит секущей плоскости UVW. Поскольку точка P лежит на прямой BD, она принадлежит плоскости основания BCD. Значит, точка P — это вторая общая точка секущей плоскости и плоскости основания.

   Прямая, проходящая через точки P и V, является следом секущей плоскости UVW на плоскости BCD.

3. Нахождение четвертой вершины сечения.

   Секущая плоскость пересекает грань BCD по отрезку, который лежит на следе PV. Этот след пересекает ребро CD в некоторой точке. Обозначим эту точку X. Точка X ($X = PV \cap CD$) является четвертой вершиной искомого сечения, так как принадлежит одновременно и секущей плоскости (поскольку лежит на следе PV), и ребру пирамиды CD.

4. Завершение построения сечения.

   Мы нашли четыре вершины сечения: U, V, X, W. Последовательно соединяем их. Отрезок VX — линия пересечения с гранью BCD. Точки W и X обе лежат в плоскости грани ACD, поэтому соединяем их отрезком WX.

   В результате получаем четырехугольник UVXW, который и является искомым сечением пирамиды плоскостью UVW.

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник UVXW, вершины которого U, V, X и W лежат на ребрах AB, BC, CD и AD пирамиды соответственно. Построение сечения приведено выше.