Номер 78, страница 44 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

78. Точки $A$ и $B$ лежат соответственно на рёбрах $KK_1$ и $MM_1$ призмы $KMOQK_1M_1O_1Q_1$, а точка $C$ — на плоскости грани $KMOQ$ (рис. 122). Постройте сечение призмы плоскостью $ABC$.

Рис. 122

Для построения искомого сечения призмы плоскостью ABC воспользуемся методом следов. Построение будет состоять из следующих этапов:

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания

   След плоскости – это прямая, по которой она пересекается с другой плоскостью. Чтобы построить след секущей плоскости (ABC) на плоскости основания (KMOQ), нужно найти две общие точки этих плоскостей.
   Одна точка нам известна — это точка C, так как по условию $C \in (ABC)$ и $C \in (KMOQ)$.
   Для нахождения второй точки воспользуемся прямой AB. Точки A и B лежат на боковых ребрах KK₁ и MM₁ соответственно. Эти ребра параллельны (так как KMOQK₁M₁O₁Q₁ — призма) и определяют плоскость боковой грани (KMM₁K₁). Таким образом, прямая AB лежит в плоскости (KMM₁K₁).
   Прямая KM является линией пересечения плоскости (KMM₁K₁) с плоскостью основания (KMOQ).
   Так как прямые AB и KM лежат в одной плоскости (KMM₁K₁), они пересекаются в некоторой точке P (в общем случае). Для нахождения точки P продлим отрезки AB и KM до их пересечения.
   $P = AB \cap KM$
   Точка P принадлежит прямой AB, следовательно, $P \in (ABC)$.
   Точка P принадлежит прямой KM, следовательно, $P \in (KMOQ)$.
   Таким образом, мы нашли вторую общую точку P. Прямая PC является следом секущей плоскости (ABC) на плоскости основания (KMOQ).

2. Нахождение вершин сечения, лежащих на ребрах основания

   След PC пересекает ребра многоугольника в основании призмы. Точки пересечения будут являться вершинами искомого сечения.
   Проведем прямую PC. Пусть она пересекает ребро KQ в точке D и ребро QO в точке E.
   $D = PC \cap KQ$
   $E = PC \cap QO$
   Точки D и E — вершины сечения. Отрезок DE — сторона сечения, лежащая на грани KMOQ.

3. Построение остальных сторон сечения

   Теперь, имея несколько вершин, последовательно построим остальные стороны сечения, соединяя точки, лежащие в одной грани.
   • Соединим точку A (на ребре KK₁) и точку D (на ребре KQ). Обе эти точки лежат в плоскости боковой грани (KQQ₁K₁). Отрезок AD — сторона сечения.
   • Соединим точку A (на ребре KK₁) и точку B (на ребре MM₁). Обе эти точки лежат в плоскости боковой грани (KMM₁K₁). Отрезок AB — сторона сечения.
   • Чтобы соединить точки B и E, которые лежат в разных гранях, найдем линию пересечения секущей плоскости с гранью (M OO₁M₁). Точка B уже лежит на этой грани. Найдем еще одну точку, принадлежащую и секущей плоскости, и плоскости грани (M OO₁M₁). Для этого воспользуемся следом PC. Продлим прямую MO (ребро основания) до пересечения со следом PC. Пусть точка их пересечения — F.
   $F = PC \cap MO$
   Точка F принадлежит секущей плоскости (ABC) (так как лежит на следе PC) и плоскости грани (M OO₁M₁) (так как лежит на прямой MO). Точка B также принадлежит обеим этим плоскостям. Значит, прямая BF является линией пересечения плоскости (ABC) с плоскостью (M OO₁M₁).
   Прямая BF пересекает ребро OO₁ в точке G.
   $G = BF \cap OO_1$
   Точка G — вершина сечения. Соединив точки B и G, которые лежат в одной грани (M OO₁M₁), получим сторону сечения BG.
   • Теперь соединим точки G (на ребре OO₁) и E (на ребре QO). Обе они лежат в плоскости боковой грани (OQQ₁O₁). Отрезок GE — сторона сечения.

4. Искомое сечение

   Мы последовательно нашли все вершины сечения: A, B, G, E, D. Соединив их по порядку, получаем замкнутый многоугольник ABGED. Этот пятиугольник является искомым сечением призмы плоскостью ABC.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник ABGED, построенный в соответствии с описанным алгоритмом. Его стороны — это отрезки AB, BG, GE, ED и DA, лежащие на соответствующих гранях призмы.