Номер 79, страница 44 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

79. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $ACEHA_1C_1E_1H_1$ плоскостью $KLM$, учитывая, что точки $K, L, M$ лежат соответственно на лучах $C_1A_1, EE_1, H_1H$ за точками $A_1, E_1, H$ (рис. 123).

Рис. 123

Для построения искомого сечения прямоугольного параллелепипеда $ACEHA_1C_1E_1H_1$ плоскостью $KLM$ будем использовать метод последовательного построения точек и линий пересечения секущей плоскости с гранями параллелепипеда. Предполагаем, что $ACEH$ и $A_1C_1E_1H_1$ — основания параллелепипеда, а $AA_1$, $CC_1$, $EE_1$, $HH_1$ — его боковые ребра.

Построение состоит из следующих шагов:

1. Построение первой линии сечения на задней грани $(EE_1H_1H)$.

   Точки $L$ и $M$ заданы на прямых $EE_1$ и $H_1H$ соответственно. Так как параллелепипед прямоугольный, боковые ребра $EE_1$ и $H_1H$ параллельны. Следовательно, они определяют плоскость, которая совпадает с плоскостью задней грани $(EE_1H_1H)$. Прямая $LM$ лежит как в секущей плоскости $(KLM)$, так и в плоскости грани $(EE_1H_1H)$, а значит, является линией их пересечения. Найдем точки пересечения прямой $LM$ с ребрами этой грани. Обозначим точку пересечения $LM$ с ребром $E_1H_1$ как $P$, а с ребром $EH$ как $Q$. Так как точка $L$ лежит на луче $EE_1$ за точкой $E_1$ (выше верхней грани), а точка $M$ — на луче $H_1H$ за точкой $H$ (ниже нижней грани), прямая $LM$ пересечет именно отрезки $E_1H_1$ и $EH$. Отрезок $PQ$ — это сторона искомого сечения, лежащая на грани $(EE_1H_1H)$.

   
2. Построение второй линии сечения на верхней грани $(A_1C_1E_1H_1)$.

   Мы получили точку $P$ на ребре $E_1H_1$, которая принадлежит сечению. Точка $P$ лежит в плоскости верхней грани $(A_1C_1E_1H_1)$. По условию, точка $K$ лежит на прямой $C_1A_1$, которая также находится в плоскости верхней грани. Следовательно, прямая $KP$ является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью верхней грани. Найдем точки пересечения этой прямой с ребрами прямоугольника $A_1C_1E_1H_1$. Одна точка, $P$, уже лежит на ребре $E_1H_1$. Прямая $KP$ (где $K$ находится на луче $C_1A_1$ за точкой $A_1$) пересечет ребро $A_1H_1$. Обозначим эту точку пересечения $S$. Отрезок $PS$ — это вторая сторона сечения, лежащая на грани $(A_1C_1E_1H_1)$.

   
3. Построение третьей линии сечения на левой грани $(AA_1H_1H)$.

   Мы получили точку $S$ на ребре $A_1H_1$. Эта точка принадлежит плоскости левой боковой грани $(AA_1H_1H)$. Точка $M$ лежит на прямой $H_1H$, которая является ребром этой же грани, значит, точка $M$ также лежит в плоскости $(AA_1H_1H)$. Следовательно, прямая $MS$ является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью левой грани. Найдем точки пересечения прямой $MS$ с ребрами этой грани. Одна точка, $S$, лежит на ребре $A_1H_1$. Так как $M$ лежит на луче $H_1H$ за точкой $H$, прямая $MS$ пересечет нижнее ребро $AH$. Обозначим точку пересечения как $T$. Отрезок $ST$ — третья сторона сечения.

   
4. Завершение построения сечения.

   На данный момент построены три вершины сечения, лежащие на ребрах параллелепипеда: $P \in E_1H_1$, $S \in A_1H_1$, $T \in AH$, а также точка $Q \in EH$. Вершины $T$ и $Q$ лежат в плоскости нижней грани $(ACEH)$. Соединив их, получим четвертую сторону сечения — отрезок $TQ$. В результате мы получили замкнутый четырехугольник $PQTS$. Проверим, что все его стороны лежат на гранях параллелепипеда:

   • $PQ$ лежит на задней грани $(EE_1H_1H)$.
   • $PS$ лежит на верхней грани $(A_1C_1E_1H_1)$.
   • $ST$ лежит на левой грани $(AA_1H_1H)$.
   • $TQ$ лежит на нижней грани $(ACEH)$.

   Все условия выполнены. Четырехугольник $PQTS$ является искомым сечением.

   

Ответ: Искомым сечением является четырехугольник $PQTS$, построенный согласно описанным выше шагам.