Номер 85, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

85. На рисунке 126 изображена правильная пирамида ABCDЕ и на ребре AЕ отмечена его середина M. Треугольник BМD — сечение этой пирамиды плоскостью, которой принадлежат прямая BD и точка M. Найдите высоты треугольника BМD, учитывая, что все рёбра пирамиды равны 20 мм.

Рис. 126

По условию задачи, ABCDE — это правильная пирамида, у которой все ребра равны 20 мм. Это означает, что в ее основании лежит квадрат BCDE со стороной 20 мм, а боковые грани (такие как ABE и ADE) являются равносторонними треугольниками со стороной 20 мм.

Сечение пирамиды представляет собой треугольник BMD. Чтобы найти его высоты, сначала определим длины его сторон.

• BD — это диагональ квадрата BCDE в основании. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника BCD, $BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2}$ мм.
• BM — это медиана в равностороннем треугольнике ABE, поскольку точка M является серединой ребра AE. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $BM = \frac{20\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ мм.
• MD — это медиана в равностороннем треугольнике ADE. Аналогично, $MD = \frac{20\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ мм.

В итоге мы имеем треугольник BMD со сторонами $BD = 20\sqrt{2}$ мм и $BM = MD = 10\sqrt{3}$ мм. Так как две стороны равны, треугольник BMD — равнобедренный с основанием BD.

Высота треугольника BMD, проведенная из вершины M

Пусть MH — высота, опущенная из вершины M на основание BD. В равнобедренном треугольнике высота к основанию также является медианой, поэтому она делит основание BD пополам.

$DH = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}(20\sqrt{2}) = 10\sqrt{2}$ мм.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник MHD. Применим теорему Пифагора:

$MH^2 = MD^2 - DH^2$

$MH^2 = (10\sqrt{3})^2 - (10\sqrt{2})^2 = (100 \cdot 3) - (100 \cdot 2) = 300 - 200 = 100$

$MH = \sqrt{100} = 10$ мм.

Высоты треугольника BMD, проведенные из вершин B и D

Пусть $h_B$ — высота, проведенная из вершины B к стороне MD. Поскольку треугольник BMD равнобедренный с боковыми сторонами BM и MD, высоты, проведенные к этим сторонам, равны.

Найдем эту высоту, используя площадь треугольника. Сначала вычислим площадь $S$, используя основание BD и высоту MH:

$S = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot 20\sqrt{2} \cdot 10 = 100\sqrt{2}$ мм².

Теперь выразим ту же площадь через основание MD и высоту $h_B$:

$S = \frac{1}{2} \cdot MD \cdot h_B$

$100\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{3} \cdot h_B$

$100\sqrt{2} = 5\sqrt{3} \cdot h_B$

$h_B = \frac{100\sqrt{2}}{5\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$h_B = \frac{20\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{6}}{3}$ мм.

Высота, проведенная из вершины D к стороне BM, также равна $\frac{20\sqrt{6}}{3}$ мм.

Ответ: Высоты треугольника $BMD$ равны 10 мм, $\frac{20\sqrt{6}}{3}$ мм и $\frac{20\sqrt{6}}{3}$ мм.