Номер 91, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

91. Изобразите правильную пирамиду $TUVW X$ и постройте её сечение плоскостью, проходящей через вершину $T$ и прямую $UW$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, учитывая, что площадь построенного сечения равна площади основания, а ребро основания равно $l$.

Построение сечения пирамиды

Пирамида TUVWX является правильной, следовательно, в ее основании лежит правильный четырехугольник — квадрат UVWX. Вершина пирамиды T проецируется в центр основания O (точка пересечения диагоналей квадрата).

Секущая плоскость проходит через вершину T и прямую UW. Прямая UW является диагональю основания. Так как точки T, U, и W однозначно задают плоскость, искомым сечением будет треугольник TUW.

Нахождение площади боковой поверхности

Согласно условию, ребро основания равно l, а площадь построенного сечения $S_{\triangle TUW}$ равна площади основания $S_{UVWX}$.

1. Вычислим площадь основания. Основание — это квадрат со стороной l, поэтому его площадь:
$S_{осн} = l^2$.

2. Используем условие равенства площадей для нахождения высоты пирамиды.
Площадь сечения $S_{\triangle TUW}$ также равна $l^2$.
Основание треугольника TUW — это диагональ квадрата UW. Найдем её длину по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника UVW:
$UW = \sqrt{UV^2 + VW^2} = \sqrt{l^2 + l^2} = \sqrt{2l^2} = l\sqrt{2}$.
Высота треугольника TUW — это высота пирамиды TO = h. Площадь сечения равна:
$S_{\triangle TUW} = \frac{1}{2} \cdot UW \cdot h = \frac{1}{2} \cdot l\sqrt{2} \cdot h$.
Приравняем это выражение к площади основания:
$\frac{l\sqrt{2}}{2} h = l^2$.
Отсюда находим высоту пирамиды h:
$h = \frac{2l^2}{l\sqrt{2}} = \frac{2l}{\sqrt{2}} = l\sqrt{2}$.

3. Найдем апофему пирамиды (высоту боковой грани).
Пусть TM — апофема, где M — середина ребра UV. Рассмотрим прямоугольный треугольник TOM. Его катетами являются высота пирамиды $TO = h = l\sqrt{2}$ и отрезок $OM = \frac{l}{2}$ (расстояние от центра квадрата до середины стороны). Гипотенузой является апофема TM (обозначим ее a).
По теореме Пифагора:
$a^2 = TM^2 = TO^2 + OM^2 = (l\sqrt{2})^2 + (\frac{l}{2})^2 = 2l^2 + \frac{l^2}{4} = \frac{8l^2 + l^2}{4} = \frac{9l^2}{4}$.
$a = \sqrt{\frac{9l^2}{4}} = \frac{3l}{2}$.

4. Вычислим площадь боковой поверхности.
Боковая поверхность состоит из четырех одинаковых равнобедренных треугольников (боковых граней), например, $\triangle TUV$. Площадь одной такой грани:
$S_{\triangle TUV} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot UV \cdot TM = \frac{1}{2} \cdot l \cdot \frac{3l}{2} = \frac{3l^2}{4}$.
Полная площадь боковой поверхности — это сумма площадей четырех граней:
$S_{бок} = 4 \cdot S_{\triangle TUV} = 4 \cdot \frac{3l^2}{4} = 3l^2$.
Ответ: $3l^2$.