Номер 90, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

90. Имеется пирамида $RMNOP$, все рёбра которой равны друг другу. Сечением этой пирамиды плоскостью, проходящей через вершину $R$ и прямую $NP$, является треугольник $RNP$. Найдите боковую поверхность пирамиды, учитывая, что радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен $R$.

По условию, пирамида RMNOP имеет все равные рёбра. Обозначим длину ребра через $a$. Это означает, что основание пирамиды MNOP является правильным многоугольником со стороной $a$, а все боковые рёбра (RM, RN, RO, RP) также равны $a$. Следовательно, все грани пирамиды являются равносторонними треугольниками. Основанием такой пирамиды может быть только квадрат, так как она является правильной пирамидой. Итак, RMNOP — правильная четырёхугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат MNOP со стороной $a$, и все рёбра которой равны $a$.

Рассмотрим сечение пирамиды — треугольник RNP. Его стороны — это боковые рёбра RN, RP и диагональ основания NP.

Длины сторон треугольника RNP:

• $RN = a$ (боковое ребро)
• $RP = a$ (боковое ребро)
• NP — диагональ квадрата MNOP со стороной $a$. По теореме Пифагора для треугольника NOP: $NP = \sqrt{NO^2 + OP^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Таким образом, треугольник RNP имеет стороны $a$, $a$ и $a\sqrt{2}$. Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора: $RN^2 + RP^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$ $NP^2 = (a\sqrt{2})^2 = 2a^2$ Поскольку $RN^2 + RP^2 = NP^2$, треугольник RNP является прямоугольным с прямым углом при вершине R.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы. В треугольнике RNP гипотенузой является сторона NP. По условию, радиус описанной окружности равен $R$. Следовательно: $R = \frac{1}{2} NP = \frac{1}{2} a\sqrt{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ Выразим длину ребра $a$ через радиус $R$: $a = R\sqrt{2}$

Боковая поверхность пирамиды ($S_{бок}$) состоит из четырёх одинаковых равносторонних треугольников (RMN, RNO, ROP, RPM) со стороной $a$. Площадь одного такого равностороннего треугольника вычисляется по формуле: $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей этих четырёх треугольников: $S_{бок} = 4 \cdot S_{\triangle} = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$

Подставим в эту формулу найденное выражение для $a$: $S_{бок} = (R\sqrt{2})^2 \sqrt{3} = (R^2 \cdot 2) \sqrt{3} = 2R^2\sqrt{3}$

Ответ: $2R^2\sqrt{3}$