Номер 93, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

93*. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $ABTVA_1B_1T_1V_1$ плоскостью $AB_1T$. Найдите радиус окружности, описанной около боковой грани параллелепипеда, учитывая, что его основанием является квадрат со стороной $a$, а площадь построенного сечения равна $S$.

Построение сечения

Дан прямоугольный параллелепипед $ABTVA_1B_1T_1V_1$. Секущая плоскость определена тремя точками $A, B_1, T$.

1. Точки $A$ и $T$ лежат в одной плоскости нижнего основания $ABTV$. Соединим их отрезком $AT$. Этот отрезок является частью сечения и лежит на грани $ABTV$.

2. Точки $A$ и $B_1$ лежат в одной плоскости боковой грани $ABB_1A_1$. Соединим их отрезком $AB_1$. Этот отрезок также является частью сечения и лежит на грани $ABB_1A_1$.

3. Соединим точки $B_1$ и $T$ отрезком $B_1T$. Этот отрезок проходит внутри параллелепипеда.

В результате объединения этих трех отрезков получаем треугольник $AB_1T$, который и является искомым сечением.

Ответ: Сечением является треугольник $AB_1T$.

Нахождение радиуса

Основанием параллелепипеда является квадрат $ABTV$ со стороной $a$. Пусть высота параллелепипеда (длина бокового ребра) равна $h$, например, $AA_1=h$.

Боковая грань, например, $ABB_1A_1$, является прямоугольником со сторонами $a$ и $h$. Окружность, описанная около прямоугольника, имеет центр в точке пересечения его диагоналей, а её радиус $R$ равен половине длины диагонали.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABB_1$ найдем диагональ $AB_1$: $AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{a^2 + h^2}$.

Тогда радиус описанной окружности равен: $R = \frac{AB_1}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + h^2}}{2}$.

Чтобы найти $R$, нужно определить высоту $h$. Для этого используем площадь сечения $S$. Сечение — это треугольник $AB_1T$. Найдем длины его сторон:

• $AT$ — диагональ квадрата основания $ABTV$, поэтому $AT = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.
• $AB_1$ — диагональ боковой грани $ABB_1A_1$, $AB_1 = \sqrt{a^2 + h^2}$.
• $TB_1$ — диагональ боковой грани $TBB_1T_1$. Так как $TB=a$ и $BB_1=h$, то $TB_1 = \sqrt{TB^2 + BB_1^2} = \sqrt{a^2 + h^2}$.

Поскольку $AB_1 = TB_1$, треугольник $AB_1T$ является равнобедренным с основанием $AT$. Его площадь $S$ можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$.

Проведем высоту $B_1M$ к основанию $AT$. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому $M$ — середина $AT$, и $AM = \frac{AT}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Из прямоугольного треугольника $AMB_1$ по теореме Пифагора найдем высоту $B_1M$: $B_1M = \sqrt{AB_1^2 - AM^2} = \sqrt{(\sqrt{a^2+h^2})^2 - (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{a^2 + h^2 - \frac{2a^2}{4}} = \sqrt{a^2 + h^2 - \frac{a^2}{2}} = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{2}}$.

Теперь запишем выражение для площади $S$: $S = \frac{1}{2} \cdot AT \cdot B_1M = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{2}}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы выразить $h^2$: $S^2 = \left(\frac{1}{2} a\sqrt{2}\right)^2 \left(h^2 + \frac{a^2}{2}\right) = \frac{a^2 \cdot 2}{4} \left(h^2 + \frac{a^2}{2}\right) = \frac{a^2}{2}\left(h^2 + \frac{a^2}{2}\right)$.

Выразим $h^2$ из этого соотношения: $\frac{2S^2}{a^2} = h^2 + \frac{a^2}{2}$ $h^2 = \frac{2S^2}{a^2} - \frac{a^2}{2}$.

Подставим полученное выражение для $h^2$ в формулу для радиуса $R$: $R^2 = \frac{a^2 + h^2}{4} = \frac{1}{4} \left(a^2 + \left(\frac{2S^2}{a^2} - \frac{a^2}{2}\right)\right) = \frac{1}{4} \left(\frac{a^2}{2} + \frac{2S^2}{a^2}\right)$.

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: $R^2 = \frac{1}{4} \left(\frac{a^4 + 4S^2}{2a^2}\right) = \frac{a^4 + 4S^2}{8a^2}$.

Извлекая квадратный корень, получаем окончательный результат: $R = \sqrt{\frac{a^4 + 4S^2}{8a^2}} = \frac{\sqrt{a^4 + 4S^2}}{\sqrt{8a^2}} = \frac{\sqrt{4S^2 + a^4}}{2a\sqrt{2}}$.

Ответ: $R = \frac{\sqrt{4S^2 + a^4}}{2a\sqrt{2}}$.