Номер 97, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

97. Изобразите треугольную пирамиду $CDEF$ и постройте её сечение плоскостью, проходящей через середины рёбер $FC$, $FD$, $FE$. Найдите площадь грани пирамиды, учитывая, что все её грани — равные друг другу правильные треугольники, а площадь сечения равна $120 \text{ см}^2$.

Задача состоит из двух частей: построение сечения и нахождение площади грани пирамиды. Выполним их последовательно.

1. Построение сечения и анализ его свойств.

Пусть дана треугольная пирамида CDEF. В условии сказано, что все её грани — равные друг другу правильные треугольники. Это означает, что CDEF является правильным тетраэдром, и все его рёбра имеют одинаковую длину. Обозначим длину ребра как $a$.

Секущая плоскость проходит через середины рёбер FC, FD и FE. Обозначим эти точки:

• Пусть K — середина ребра FC.
• Пусть L — середина ребра FD.
• Пусть M — середина ребра FE.

Соединив точки K, L и M, мы получим треугольник KLM, который является искомым сечением.

Рассмотрим свойства этого треугольника.

В треугольнике FCD отрезок KL соединяет середины сторон FC и FD. Следовательно, KL является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, отрезок KL параллелен стороне CD и его длина равна половине длины стороны CD: $KL = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2}$.

Аналогично, в треугольнике FDE отрезок LM является средней линией, и его длина равна $LM = \frac{1}{2}DE = \frac{a}{2}$.

И в треугольнике FCE отрезок KM является средней линией, и его длина равна $KM = \frac{1}{2}CE = \frac{a}{2}$.

Так как все стороны треугольника KLM равны ($KL = LM = KM = \frac{a}{2}$), то сечение KLM является правильным (равносторонним) треугольником.

2. Нахождение площади грани пирамиды.

Грань пирамиды (например, грань CDE) — это правильный треугольник со стороной $a$.

Сечение KLM — это правильный треугольник со стороной $\frac{a}{2}$.

Площадь правильного треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле: $S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$.

Выразим площади грани и сечения через $a$:

Площадь грани пирамиды: $S_{грани} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Площадь сечения: $S_{сечения} = \frac{(\frac{a}{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{a^2}{4}\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{16}$.

Теперь установим соотношение между площадью грани и площадью сечения. Можно заметить, что треугольник CDE подобен треугольнику KLM (так как оба равносторонние). Коэффициент подобия равен отношению их сторон: $k = \frac{CD}{KL} = \frac{a}{a/2} = 2$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{грани}}{S_{сечения}} = k^2 = 2^2 = 4$.

Таким образом, площадь грани пирамиды в 4 раза больше площади сечения: $S_{грани} = 4 \cdot S_{сечения}$.

По условию, площадь сечения равна 120 см²: $S_{сечения} = 120$ см².

Найдем площадь грани: $S_{грани} = 4 \cdot 120 = 480$ см².

Ответ: 480 см².