Номер 2, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

2. Какое наибольшее количество прямых можно провести через различные

пары из пяти точек:

а) 5;

б) 6;

в) 8;

г) 10?

Для того чтобы найти наибольшее возможное количество прямых, нужно исходить из предположения, что никакие три точки не лежат на одной прямой (точки находятся в общем положении). Если бы какие-то три точки были коллинеарны, они бы образовывали одну прямую вместо трех, и общее количество уникальных прямых было бы меньше. При условии, что никакие три точки не коллинеарны, каждая пара точек будет задавать свою собственную, уникальную прямую.

Таким образом, задача сводится к вычислению числа всех возможных пар, которые можно составить из 5 точек. Это классическая задача из комбинаторики на нахождение числа сочетаний, поскольку каждая прямая определяется двумя точками и порядок выбора этих точек не имеет значения (прямая AB — это та же прямая, что и BA).

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ находится по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае у нас есть $n = 5$ точек, и мы выбираем из них пары, то есть $k = 2$.

Подставим эти значения в формулу:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{2! \times 3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$.

Также можно решить задачу методом последовательного подсчета. От первой точки можно провести прямые к остальным 4 точкам. От второй точки можно провести 3 новые прямые к оставшимся точкам (прямая к первой уже учтена). От третьей — 2 новые прямые. От четвертой — 1 новую прямую. Общее количество уникальных прямых равно сумме: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$.

Следовательно, наибольшее количество прямых, которое можно провести через 5 точек, равно 10, что соответствует варианту ответа г).

Ответ: г) 10