Номер 7, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

7. Ребро основания правильной треугольной призмы IJKPML относится к боковому ребру как 2 : 3. Найдите боковую поверхность призмы, учитывая, что длина ломаной IPLKMI равна $4 + \sqrt{13}$ см.

Пусть $a$ — длина ребра основания правильной треугольной призмы, а $h$ — длина ее бокового ребра (высоты).

По условию задачи, ребро основания относится к боковому ребру как 2 : 3. Это можно записать в виде соотношения:

$\frac{a}{h} = \frac{2}{3}$

Для удобства введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда длины ребер можно выразить как $a = 2x$ и $h = 3x$.

Призма $IJKPML$ является правильной, что означает, что ее основаниями $IJK$ и $PML$ являются правильные (равносторонние) треугольники, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Будем считать, что вершины верхнего основания $P, L, M$ расположены над соответствующими вершинами нижнего основания $I, J, K$. Таким образом, $IP, JL, KM$ являются боковыми ребрами призмы, и их длина равна $h$.

Далее, найдем длину ломаной $IPLKMI$. Она состоит из суммы длин отрезков $IP, PL, LK, KM, MI$. Определим длину каждого из этих отрезков:

• $|IP|$: это боковое ребро, соединяющее вершину нижнего основания $I$ с соответствующей ей вершиной верхнего основания $P$. Его длина равна $h$.
• $|PL|$: это ребро верхнего основания $PML$. Его длина равна $a$.
• $|LK|$: это отрезок, соединяющий вершину верхнего основания $L$ с вершиной нижнего основания $K$. Так как призма прямая, боковое ребро $JL$ перпендикулярно плоскости основания $IJK$. Следовательно, треугольник $LJK$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $J$. Его катеты равны $|JL| = h$ и $|JK| = a$. По теореме Пифагора, длина гипотенузы $LK$ равна: $|LK| = \sqrt{|JL|^2 + |JK|^2} = \sqrt{h^2 + a^2}$. Этот отрезок является диагональю боковой грани $JKML$.
• $|KM|$: это боковое ребро, его длина равна $h$.
• $|MI|$: это отрезок, соединяющий вершину верхнего основания $M$ с вершиной нижнего основания $I$. Аналогично, треугольник $MKI$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$. Его катеты равны $|MK| = h$ и $|KI| = a$. Длина гипотенузы $MI$ равна: $|MI| = \sqrt{|MK|^2 + |KI|^2} = \sqrt{h^2 + a^2}$. Этот отрезок является диагональю боковой грани $KIMP$.

Суммируя длины всех отрезков, получаем общую длину ломаной:

$L_{IPLKMI} = |IP| + |PL| + |LK| + |KM| + |MI| = h + a + \sqrt{h^2 + a^2} + h + \sqrt{h^2 + a^2} = a + 2h + 2\sqrt{a^2 + h^2}$

Согласно условию, длина ломаной равна $4 + \sqrt{13}$ см. Составим уравнение:

$a + 2h + 2\sqrt{a^2 + h^2} = 4 + \sqrt{13}$

Подставим в уравнение выражения $a = 2x$ и $h = 3x$:

$2x + 2(3x) + 2\sqrt{(2x)^2 + (3x)^2} = 4 + \sqrt{13}$

Упростим полученное выражение:

$2x + 6x + 2\sqrt{4x^2 + 9x^2} = 4 + \sqrt{13}$

$8x + 2\sqrt{13x^2} = 4 + \sqrt{13}$

Так как $x$ — коэффициент для длины, то $x > 0$, и следовательно, $\sqrt{x^2} = x$.

$8x + 2x\sqrt{13} = 4 + \sqrt{13}$

Вынесем общий множитель $2x$ в левой части уравнения:

$2x(4 + \sqrt{13}) = 4 + \sqrt{13}$

Разделив обе части на $(4 + \sqrt{13})$, получим:

$2x = 1 \implies x = 0.5$

Теперь мы можем найти фактические размеры ребер призмы:

Ребро основания: $a = 2x = 2 \cdot 0.5 = 1$ см.

Боковое ребро (высота): $h = 3x = 3 \cdot 0.5 = 1.5$ см.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ прямой призмы вычисляется как произведение периметра основания $P_{осн}$ на высоту призмы $h$.

Периметр равностороннего треугольника в основании равен:

$P_{осн} = 3a = 3 \cdot 1 = 3$ см.

Вычисляем площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 3 \text{ см} \cdot 1.5 \text{ см} = 4.5$ см².

Ответ: 4.5 см².