Номер 1, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

1. Сформулируйте утверждение о прямых, проходящих через данную точку параллельно данной прямой.

1. Утверждение, о котором идёт речь, является одной из фундаментальных аксиом планиметрии, известной как аксиома параллельных прямых или пятый постулат Евклида.

Классическая формулировка этого утверждения следующая:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Для полного понимания этого утверждения, рассмотрим два возможных случая расположения точки относительно прямой:

• Случай 1: Точка не лежит на данной прямой.
  Пусть у нас есть прямая $a$ и точка $M$, которая не принадлежит этой прямой ($M \notin a$). Аксиома утверждает, что существует прямая $b$, которая проходит через точку $M$ и при этом параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$), и такая прямая только одна. Это и есть основной смысл данного геометрического утверждения. Оно гарантирует как существование, так и единственность такой прямой.
• Случай 2: Точка лежит на данной прямой.
  Пусть у нас есть прямая $a$ и точка $M$, которая лежит на этой прямой ($M \in a$). В этом случае через точку $M$ невозможно провести прямую, параллельную прямой $a$. Это следует из определения параллельных прямых: это прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек. Любая прямая, проходящая через точку $M$, будет пересекать прямую $a$ (как минимум в самой точке $M$), а значит, по определению не может быть ей параллельна.

Таким образом, в строгой формулировке утверждение всегда относится к точке, находящейся вне данной прямой.

Ответ: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.