Номер 3, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

3. Сформулируйте утверждение о параллельных прямых, из которых одна пересекает данную плоскость.

Утверждение (теорема о параллельных прямых и плоскости)

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Развернутое доказательство

Дано:
Прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).
Прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$ ($a \cap \alpha = M$).

Доказать:
Прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$.

Доказательство:

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что прямая $b$ не пересекает плоскость $\alpha$. Это означает, что прямая $b$ либо параллельна плоскости $\alpha$ ($b \parallel \alpha$), либо лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

Сначала рассмотрим случай, когда прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$. Так как по условию $a \parallel b$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая $a$ должна быть параллельна плоскости $\alpha$ или лежать в ней. Оба этих варианта противоречат условию, согласно которому прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в одной точке $M$. Следовательно, прямая $b$ не может лежать в плоскости $\alpha$.

Теперь рассмотрим единственно возможный оставшийся случай нашего предположения: прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$.

Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны, через них проходит единственная плоскость. Обозначим эту плоскость как $\beta$. Таким образом, $a \subset \beta$ и $b \subset \beta$.

Точка $M$ является точкой пересечения прямой $a$ и плоскости $\alpha$. Так как $a \subset \beta$, то точка $M$ принадлежит и плоскости $\beta$. Поскольку точка $M$ принадлежит обеим плоскостям ($\alpha$ и $\beta$), эти плоскости пересекаются. Линией их пересечения является некоторая прямая $c$, которая также проходит через точку $M$. Итак, $\alpha \cap \beta = c$, и $M \in c$.

Рассмотрим взаимное расположение прямых $a$, $b$ и $c$, лежащих в одной плоскости $\beta$.
1. Прямые $a$ и $b$ параллельны по условию ($a \parallel b$).
2. Прямые $b$ и $c$ также должны быть параллельны ($b \parallel c$). Это следует из того, что они лежат в одной плоскости $\beta$, но не могут пересечься. Если бы они пересеклись, их общая точка принадлежала бы прямой $c$, а значит и плоскости $\alpha$. Но по нашему предположению прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$ и не имеет с ней общих точек. Следовательно, $b$ и $c$ не пересекаются, а значит, они параллельны.

Из того, что в плоскости $\beta$ выполняются соотношения $a \parallel b$ и $b \parallel c$, на основании свойства транзитивности параллельных прямых (которое следует из аксиомы параллельности Евклида) мы заключаем, что $a \parallel c$.

Мы пришли к противоречию. С одной стороны, мы вывели, что $a \parallel c$. С другой стороны, мы знаем, что прямые $a$ и $c$ пересекаются в точке $M$. По определению, параллельные прямые не могут иметь общих точек.

Это противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, прямая $b$ должна пересекать плоскость $\alpha$.

Ответ: Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.