Номер 8, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

8. Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды равна $30 \, 420 \, \text{мм}^2$, а её боковое ребро — 169 мм. Найдите площадь основания пирамиды.

Поскольку пирамида правильная треугольная, ее боковая поверхность состоит из трех равных равнобедренных треугольников. Основание пирамиды — равносторонний треугольник.

1. Найдем площадь одной боковой грани. Разделим общую площадь боковой поверхности на количество граней (три):

$S_{грань} = \frac{S_{бок}}{3} = \frac{30420 \text{ мм}^2}{3} = 10140 \text{ мм}^2$

2. Каждая боковая грань является равнобедренным треугольником, у которого две боковые стороны равны боковому ребру пирамиды $l = 169$ мм, а основание $a$ является стороной основания пирамиды. Найдем сторону основания $a$.

Площадь треугольника можно найти по формуле через две стороны и угол между ними. Пусть $\alpha$ — угол при вершине боковой грани (между двумя боковыми ребрами).

$S_{грань} = \frac{1}{2} l^2 \sin(\alpha)$

Подставим известные значения и найдем $\sin(\alpha)$:

$10140 = \frac{1}{2} \cdot 169^2 \cdot \sin(\alpha)$

$10140 = \frac{28561}{2} \sin(\alpha)$

$\sin(\alpha) = \frac{2 \cdot 10140}{28561} = \frac{20280}{28561}$

Для упрощения дроби разделим числитель и знаменатель на 169 (так как $28561 = 169^2$):

$20280 \div 169 = 120$

Таким образом, $\sin(\alpha) = \frac{120}{169}$.

3. Для нахождения стороны $a$ воспользуемся теоремой косинусов. Сначала найдем $\cos(\alpha)$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$:

$\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (\frac{120}{169})^2} = \sqrt{\frac{169^2 - 120^2}{169^2}}$

Применим формулу разности квадратов в числителе:

$\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{(169-120)(169+120)}}{169} = \frac{\sqrt{49 \cdot 289}}{169} = \frac{\sqrt{7^2 \cdot 17^2}}{169} = \frac{7 \cdot 17}{169} = \frac{119}{169}$

4. Теперь применим теорему косинусов к боковой грани, чтобы найти сторону $a$:

$a^2 = l^2 + l^2 - 2 \cdot l \cdot l \cdot \cos(\alpha) = 2l^2(1 - \cos(\alpha))$

$a^2 = 2 \cdot 169^2 \cdot (1 - \frac{119}{169}) = 2 \cdot 169^2 \cdot \frac{169-119}{169} = 2 \cdot 169^2 \cdot \frac{50}{169}$

$a^2 = 2 \cdot 169 \cdot 50 = 100 \cdot 169 = 16900$

$a = \sqrt{16900} = 130$ мм.

5. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной $a = 130$ мм. Найдем его площадь по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

$S_{осн} = \frac{130^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16900 \sqrt{3}}{4} = 4225 \sqrt{3} \text{ мм}^2$

Ответ: $4225 \sqrt{3}$ мм².