Номер 9, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

9. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 12 см, а отрезок, соединяющий высоту пирамиды с центром основания, — 16 см.

Найдите:

а) боковое ребро и апофему пирамиды;

б) боковую поверхность пирамиды;

в) полную поверхность пирамиды.

Дано: правильная четырёхугольная пирамида.
Сторона основания $a = 12$ см.
В условии задачи "отрезок, соединяющий высоту пирамиды с центром основания" скорее всего означает саму высоту пирамиды, то есть отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания. Таким образом, высота пирамиды $H = 16$ см.

а) боковое ребро и апофему пирамиды;

1. Найдём апофему пирамиды ($h_s$). Апофема – это высота боковой грани.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды ($H$), половиной стороны основания ($a/2$) и апофемой ($h_s$). Катеты этого треугольника – высота $H$ и отрезок, соединяющий центр основания с серединой стороны основания, равный $a/2$. Апофема $h_s$ является гипотенузой.
Длина катета, лежащего в основании: $a/2 = 12/2 = 6$ см.
По теореме Пифагора:
$h_s^2 = H^2 + (a/2)^2$
$h_s^2 = 16^2 + 6^2 = 256 + 36 = 292$
$h_s = \sqrt{292} = \sqrt{4 \cdot 73} = 2\sqrt{73}$ см.

2. Найдём боковое ребро пирамиды ($l$).
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды ($H$), половиной диагонали основания ($d/2$) и боковым ребром ($l$). Катеты этого треугольника – высота $H$ и половина диагонали основания. Боковое ребро $l$ является гипотенузой.
Сначала найдём диагональ основания ($d$). Основание – квадрат со стороной $a=12$ см.
$d = a\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$ см.
Половина диагонали: $d/2 = (12\sqrt{2})/2 = 6\sqrt{2}$ см.
Теперь по теореме Пифагора:
$l^2 = H^2 + (d/2)^2$
$l^2 = 16^2 + (6\sqrt{2})^2 = 256 + (36 \cdot 2) = 256 + 72 = 328$
$l = \sqrt{328} = \sqrt{4 \cdot 82} = 2\sqrt{82}$ см.

Ответ: боковое ребро равно $2\sqrt{82}$ см, апофема равна $2\sqrt{73}$ см.

б) боковую поверхность пирамиды;

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания ($P$) на апофему ($h_s$).
$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot h_s$
Периметр основания (квадрата): $P = 4a = 4 \cdot 12 = 48$ см.
Апофема (найдена в пункте а): $h_s = 2\sqrt{73}$ см.
Вычисляем площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 2\sqrt{73} = 48\sqrt{73}$ см$^2$.

Ответ: $48\sqrt{73}$ см$^2$.

в) полную поверхность пирамиды.

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) пирамиды равна сумме площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и площади основания ($S_{осн}$).
$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$
Площадь основания (квадрата): $S_{осн} = a^2 = 12^2 = 144$ см$^2$.
Площадь боковой поверхности (найдена в пункте б): $S_{бок} = 48\sqrt{73}$ см$^2$.
Вычисляем площадь полной поверхности:
$S_{полн} = 48\sqrt{73} + 144$ см$^2$.
Можно вынести общий множитель для более компактной записи:
$S_{полн} = 48(\sqrt{73} + 3)$ см$^2$.

Ответ: $48\sqrt{73} + 144$ см$^2$ (или $48(\sqrt{73} + 3)$ см$^2$).