Номер 94, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

94*. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда $IJKLI_1J_1K_1L_1$ плоскостью, проходящей через вершину $I$ и прямую $J_1L_1$. Найдите полную поверхность параллелепипеда, учитывая, что его основанием является квадрат со стороной $a$, а угол $J_1IL_1$ равен $\gamma$.

Построение сечения

Секущая плоскость проходит через вершину $I$ и прямую $J_{1}L_{1}$. Поскольку точки $J_{1}$ и $L_{1}$ принадлежат этой прямой, плоскость сечения определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой: $I$, $J_{1}$ и $L_{1}$. Для построения сечения необходимо найти линии пересечения этой плоскости с гранями параллелепипеда.

1. Соединим точку $I$ с точкой $J_{1}$. Обе точки лежат в плоскости передней грани $IJJ_{1}I_{1}$, поэтому отрезок $IJ_{1}$ является линией пересечения секущей плоскости с этой гранью.
2. Соединим точку $I$ с точкой $L_{1}$. Обе точки лежат в плоскости боковой грани $ILL_{1}I_{1}$, поэтому отрезок $IL_{1}$ является линией пересечения секущей плоскости с этой гранью.
3. Прямая $J_{1}L_{1}$ задана в условии и лежит в секущей плоскости. Отрезок $J_{1}L_{1}$ является диагональю верхнего основания $I_{1}J_{1}K_{1}L_{1}$ и является третьей стороной сечения.

Таким образом, отрезки $IJ_{1}$, $IL_{1}$ и $J_{1}L_{1}$ образуют замкнутую фигуру — треугольник $IJ_{1}L_{1}$, который и является искомым сечением.

Ответ: Искомым сечением является треугольник $IJ_{1}L_{1}$.

Нахождение полной поверхности параллелепипеда

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда находится по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

По условию, основание $IJKL$ — квадрат со стороной $a$. Его площадь равна: $S_{осн} = a^2$

Пусть высота параллелепипеда равна $h$ (т.е. $II_{1} = JJ_{1} = h$). Боковая поверхность состоит из четырех равных прямоугольников со сторонами $a$ и $h$, так как основание является квадратом. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 4ah$

Следовательно, площадь полной поверхности равна: $S_{полн} = 2a^2 + 4ah$

Для вычисления площади необходимо найти высоту $h$. Рассмотрим треугольник сечения $IJ_{1}L_{1}$. Найдем длины его сторон:

• Сторона $IJ_{1}$ — гипотенуза прямоугольного треугольника $IJJ_{1}$ (т.к. ребро $JJ_{1}$ перпендикулярно основанию). По теореме Пифагора: $IJ_{1}^2 = IJ^2 + JJ_{1}^2 = a^2 + h^2$. Таким образом, $IJ_{1} = \sqrt{a^2 + h^2}$.
• Сторона $IL_{1}$ — гипотенуза прямоугольного треугольника $ILL_{1}$. Аналогично, $IL_{1}^2 = IL^2 + LL_{1}^2 = a^2 + h^2$. Таким образом, $IL_{1} = \sqrt{a^2 + h^2}$.
• Сторона $J_{1}L_{1}$ — диагональ верхнего основания $I_{1}J_{1}K_{1}L_{1}$, которое является квадратом со стороной $a$. Ее длина: $J_{1}L_{1} = \sqrt{I_{1}J_{1}^2 + I_{1}L_{1}^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Видим, что треугольник $IJ_{1}L_{1}$ является равнобедренным ($IJ_{1} = IL_{1}$). По условию, угол между равными сторонами $\angle J_{1}IL_{1} = \gamma$.

Применим к треугольнику $IJ_{1}L_{1}$ теорему косинусов: $J_{1}L_{1}^2 = IJ_{1}^2 + IL_{1}^2 - 2 \cdot IJ_{1} \cdot IL_{1} \cdot \cos(\gamma)$

Подставляем выражения для длин сторон: $(a\sqrt{2})^2 = (a^2 + h^2) + (a^2 + h^2) - 2 \cdot \sqrt{a^2 + h^2} \cdot \sqrt{a^2 + h^2} \cdot \cos(\gamma)$

$2a^2 = 2(a^2 + h^2) - 2(a^2 + h^2)\cos(\gamma)$

Упростим выражение, вынеся общий множитель $2(a^2 + h^2)$: $2a^2 = 2(a^2 + h^2)(1 - \cos(\gamma))$

Сократим на 2 и выразим $a^2 + h^2$: $a^2 + h^2 = \frac{a^2}{1 - \cos(\gamma)}$

Теперь найдем $h^2$: $h^2 = \frac{a^2}{1 - \cos(\gamma)} - a^2 = a^2\left(\frac{1}{1 - \cos(\gamma)} - 1\right) = a^2\left(\frac{1 - (1 - \cos(\gamma))}{1 - \cos(\gamma)}\right) = a^2\frac{\cos(\gamma)}{1 - \cos(\gamma)}$

Отсюда высота $h$ равна: $h = \sqrt{a^2 \frac{\cos(\gamma)}{1 - \cos(\gamma)}} = a\sqrt{\frac{\cos(\gamma)}{1 - \cos(\gamma)}}$

(Для того чтобы высота $h$ была действительным числом, необходимо, чтобы $\frac{\cos(\gamma)}{1 - \cos(\gamma)} \ge 0$. Так как для угла треугольника $1 - \cos(\gamma) > 0$, то должно выполняться $\cos(\gamma) \ge 0$, что означает $0 < \gamma \le \pi/2$).

Наконец, подставим найденное выражение для $h$ в формулу площади полной поверхности: $S_{полн} = 2a^2 + 4ah = 2a^2 + 4a\left(a\sqrt{\frac{\cos(\gamma)}{1 - \cos(\gamma)}}\right) = 2a^2 + 4a^2\sqrt{\frac{\cos(\gamma)}{1 - \cos(\gamma)}}$

Вынесем за скобки общий множитель $2a^2$: $S_{полн} = 2a^2\left(1 + 2\sqrt{\frac{\cos(\gamma)}{1 - \cos(\gamma)}}\right)$

Ответ: $S_{полн} = 2a^2\left(1 + 2\sqrt{\frac{\cos(\gamma)}{1 - \cos(\gamma)}}\right)$.