Номер 88, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

88. Изобразите четырёхугольную пирамиду $STUVW$ и постройте её сечение плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$, $C$ на рёбрах $ST$, $TW$, $VW$.

Изобразите четырёхугольную пирамиду STUVW

В условии дана четырехугольная пирамида STUVW, что означает наличие пяти вершин. Для однозначного построения необходимо определить, какая из вершин является вершиной пирамиды, а какие четыре образуют основание. Расположение заданных точек A, B и C на ребрах ST, TW и VW соответственно, позволяет сделать наиболее вероятное предположение о строении пирамиды, удобное для построения.

Рассмотрим конфигурацию, в которой T является вершиной пирамиды, а SUVW — ее четырехугольным основанием. В этом случае расположение точек A, B и C на ребрах интерпретируется следующим образом:

• Точка A лежит на боковом ребре TS.
• Точка B лежит на боковом ребре TW.
• Точка C лежит на ребре основания VW.

Такая структура пирамиды является наиболее подходящей, так как позволяет сразу начать построение сечения, используя тот факт, что некоторые из заданных точек лежат в одной грани пирамиды. Изобразим пирамиду T-SUVW в общем виде и отметим на указанных ребрах точки A, B и C.

постройте её сечение плоскостью, проходящей через точки A, B, C на рёбрах ST, TW, VW

Построение искомого сечения — многоугольника, образованного пересечением плоскости (ABC) с гранями пирамиды, — выполним пошагово.

1. Построение сторон сечения в гранях, содержащих пары заданных точек.
   Точки B и C лежат в одной плоскости — плоскости боковой грани (TVW), так как точка B находится на ребре TW, а точка C — на ребре VW. Соединяем эти точки отрезком BC. Этот отрезок является одной из сторон искомого сечения.
   Аналогично, точки A и B лежат в одной плоскости — плоскости боковой грани (TSW), так как A лежит на ребре TS, а B — на ребре TW. Соединяем их отрезком AB, получая вторую сторону сечения.
2. Нахождение следа секущей плоскости на плоскости основания.
   Для нахождения остальных вершин сечения воспользуемся методом следов. Найдем прямую пересечения (след) секущей плоскости (ABC) с плоскостью основания (SUVW).
   Одна точка этого следа нам уже известна — это точка C, так как она по условию принадлежит ребру основания VW.
   Для нахождения второй точки продлим прямую AB (которая лежит в секущей плоскости) до пересечения с плоскостью основания. Прямая AB также лежит в плоскости грани (TSW). Плоскость (TSW) пересекается с плоскостью основания (SUVW) по прямой SW. Прямые AB и SW лежат в одной плоскости (TSW), поэтому найдем их точку пересечения K.
   $K = AB \cap SW$
   Точка K принадлежит как секущей плоскости (ABC), так и плоскости основания (SUVW).
3. Построение следа и нахождение новой вершины сечения.
   Проведем прямую через точки K и C. Прямая KC — это и есть след секущей плоскости на плоскости основания. Эта прямая пересекает ребра основания. Нам необходимо найти точку пересечения следа KC с ребром SU. Обозначим эту точку D.
   $D = KC \cap SU$
   Точка D — четвертая вершина искомого сечения.
4. Завершение построения.
   Мы получили все вершины сечения: A, B, C и D. Соединим точки A и D отрезком. Они обе лежат в плоскости грани (TSU) (A на ребре TS, D на ребре SU), поэтому отрезок AD является стороной сечения. Отрезок CD также является стороной сечения и лежит в плоскости основания.
   В результате построен четырехугольник ABCD, который и является искомым сечением.

Ответ:
Искомое сечение пирамиды T-SUVW плоскостью (ABC) является четырехугольник ABCD. Его построение выполняется в следующем порядке:

1. Проводится отрезок AB в грани (TSW).
2. Проводится отрезок BC в грани (TVW).
3. Находится точка $K = AB \cap SW$.
4. Проводится след KC в плоскости основания (SUVW).
5. Находится точка $D = KC \cap SU$.
6. Строятся замыкающие отрезки CD (в плоскости основания) и DA (в грани (TSU)).