Номер 81, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

81. На рисунке 125 изображена призма $IJKLI_1J_1K_1L_1$, на рёбрах $J_1I_1$, $J_1K_1$, $LL_1$ выбраны точки $A$, $B$, $C$. Сделайте такой рисунок в тетради и постройте сечение призмы плоскостью $ABC$.

Рис. 125

Для построения сечения призмы плоскостью, проходящей через точки A, B и C, выполним следующие шаги, используя метод следов и свойство параллельных плоскостей.

1. Построение следа секущей плоскости на верхней грани.

   Точки A и B лежат в одной плоскости — плоскости верхнего основания призмы $(I_1J_1K_1L_1)$. Следовательно, отрезок AB является линией пересечения (следом) секущей плоскости с гранью $I_1J_1K_1L_1$. Соединяем точки A и B.

2. Построение точек пересечения с ребрами $II_1$ и $LK$.

   Для нахождения следующих точек сечения воспользуемся методом следов.

   • Продлим прямую AB и ребро $I_1L_1$ до их пересечения. Обе прямые лежат в плоскости верхнего основания. Обозначим точку их пересечения как P, то есть $P = AB \cap I_1L_1$. Точка P принадлежит секущей плоскости (так как лежит на прямой AB) и плоскости боковой грани $I_1L_1LI$ (так как лежит на прямой $I_1L_1$).

   • Точка C также принадлежит секущей плоскости и грани $I_1L_1LI$. Следовательно, прямая PC является линией пересечения секущей плоскости с плоскостью грани $I_1L_1LI$.

   • Прямая PC пересекает ребро $II_1$ в точке, которую мы обозначим D. Таким образом, мы нашли еще одну вершину сечения. Соединяя точки A и D (лежащие в грани $I_1J_1JI$) и точки C и D (лежащие в грани $I_1L_1LI$), получаем отрезки сечения AD и CD.

   • Аналогично, продлим прямую AB и ребро $K_1L_1$ до их пересечения в точке Q ($Q = AB \cap K_1L_1$). Точка Q и точка C определяют прямую QC, которая является следом секущей плоскости на грани $K_1L_1LK$. Эта прямая пересекает ребро LK в точке, которую мы обозначим E. Отрезок CE — еще одна сторона сечения.

3. Построение следа секущей плоскости на нижней грани.

   Плоскость верхнего основания $(I_1J_1K_1L_1)$ параллельна плоскости нижнего основания $(IJKL)$. Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Следовательно, след секущей плоскости на нижнем основании должен быть параллелен ее следу на верхнем основании (прямой AB).

   Через точку E, которая лежит на ребре LK нижнего основания, проведем прямую, параллельную AB. Эта прямая пересечет ребро JK в точке, которую мы обозначим F. Отрезок EF является стороной искомого сечения, причём $EF \parallel AB$.

4. Завершение построения.

   Мы нашли все вершины многоугольника сечения: A, B, F, E, C, D. Осталось соединить последнюю пару точек. Точки B и F лежат в плоскости боковой грани $J_1K_1KJ$. Соединив их, получим отрезок BF, который является последней стороной сечения.

   Искомое сечение — это шестиугольник ABFECD.

Ответ: Искомым сечением является шестиугольник ABFECD, построенный согласно описанному алгоритму.