Номер 76, страница 44 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

76*. Изобразите куб $RSTVR_1S_1T_1V_1$ и отметьте середину $C$ его ребра $SS_1$. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через прямую $RT$ и точку $C$. Найдите медианы треугольника $RTC$, учитывая, что ребро куба равно 40 мм.

Изобразите куб RSTVR₁S₁T₁V₁ и отметьте середину C его ребра SS₁. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через прямую RT и точку C.

Для построения сечения необходимо определить, как секущая плоскость, заданная прямой $RT$ и точкой $C$, пересекает грани куба.

1. Изобразим куб $RSTVR_1S_1T_1V_1$. Нижнее основание — квадрат $RSTV$, верхнее — $R_1S_1T_1V_1$.

2. Точка $C$ является серединой вертикального ребра $SS_1$.

3. Секущая плоскость проходит через три точки: $R$, $T$ и $C$.

• Точки $R$ и $T$ лежат в плоскости нижнего основания $RSTV$. Соединяем их отрезком. Отрезок $RT$ (диагональ основания) — это линия пересечения (след) секущей плоскости с плоскостью нижнего основания.

• Точки $T$ и $C$ лежат в плоскости боковой грани $STT_1S_1$. Соединяем их отрезком. Отрезок $TC$ — это след секущей плоскости на этой грани.

• Точки $R$ и $C$ лежат в плоскости задней грани $RSS_1R_1$. Соединяем их отрезком. Отрезок $RC$ — это след секущей плоскости на этой грани.

Таким образом, соединив эти три отрезка, мы получаем замкнутую фигуру — треугольник $RTC$. Этот треугольник и является искомым сечением куба.

Ответ: Сечением является треугольник $RTC$, вершины которого — это вершины куба $R$ и $T$ из нижнего основания и точка $C$ — середина бокового ребра $SS_1$.

Найдите медианы треугольника RTC, учитывая, что ребро куба равно 40 мм.

Пусть длина ребра куба $a = 40$ мм. Для нахождения длин медиан треугольника $RTC$ сначала вычислим длины его сторон. Для этого введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $S$ находится в начале координат $S(0, 0, 0)$, а оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$ направлены вдоль ребер $SR$, $ST$ и $SS_1$ соответственно.

В этой системе координат вершины треугольника $RTC$ имеют следующие координаты:
$R(a, 0, 0)$
$T(0, a, 0)$
$C$ — середина ребра $SS_1$, поэтому ее координаты $C(0, 0, a/2)$.

Найдем квадраты длин сторон треугольника по формуле расстояния между двумя точками $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2$:

$RT^2 = (a-0)^2 + (0-a)^2 + (0-0)^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \implies RT = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

$TC^2 = (0-0)^2 + (a-0)^2 + (0-a/2)^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{5a^2}{4} \implies TC = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.

$RC^2 = (a-0)^2 + (0-0)^2 + (0-a/2)^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{5a^2}{4} \implies RC = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Поскольку $RC = TC$, треугольник $RTC$ является равнобедренным с основанием $RT$.

Теперь найдем длины медиан. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Медиана $m_c$ из вершины $C$ к стороне $RT$.
Пусть $M_3$ — середина стороны $RT$. Ее координаты: $M_3\left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = M_3\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)$.
Найдем квадрат длины медианы $CM_3$:
$m_c^2 = CM_3^2 = \left(\frac{a}{2}-0\right)^2 + \left(\frac{a}{2}-0\right)^2 + \left(0-\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$.
$m_c = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Медиана $m_r$ из вершины $R$ к стороне $TC$.
Пусть $M_1$ — середина стороны $TC$. Ее координаты: $M_1\left(\frac{0+0}{2}, \frac{a+0}{2}, \frac{0+a/2}{2}\right) = M_1\left(0, \frac{a}{2}, \frac{a}{4}\right)$.
Найдем квадрат длины медианы $RM_1$:
$m_r^2 = RM_1^2 = (a-0)^2 + \left(0-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(0-\frac{a}{4}\right)^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{16} = \frac{16a^2 + 4a^2 + a^2}{16} = \frac{21a^2}{16}$.
$m_r = \sqrt{\frac{21a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{21}}{4}$.

Медиана $m_t$ из вершины $T$ к стороне $RC$.
Так как треугольник $RTC$ равнобедренный с боковыми сторонами $RC$ и $TC$, медианы, проведенные к этим сторонам, равны: $m_t = m_r = \frac{a\sqrt{21}}{4}$.

Подставим заданное значение ребра куба $a = 40$ мм в полученные формулы:
$m_c = \frac{40\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}$ мм.
$m_r = m_t = \frac{40\sqrt{21}}{4} = 10\sqrt{21}$ мм.

Ответ: длины медиан треугольника $RTC$ равны $20\sqrt{3}$ мм, $10\sqrt{21}$ мм и $10\sqrt{21}$ мм.