Номер 75, страница 43 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

75*. Точка $C$ — середина ребра $JL$ длиной $a$ правильной треугольной пирамиды $IJKL$, боковая грань которой равна грани основания.

Постройте сечение пирамиды плоскостью $IKC$ и найдите радиусы окружностей, одна из которых вписана в это сечение, а вторая описана около него.

По условию, IJKL — правильная треугольная пирамида, у которой боковая грань равна грани основания. Это означает, что все грани пирамиды — равные между собой правильные треугольники. Такая фигура называется правильным тетраэдром. Все ребра тетраэдра равны. Длина ребра JL равна a, следовательно, все ребра пирамиды равны a: $IJ = IK = IL = JK = KL = LJ = a$.

Точка C — середина ребра JL, поэтому $JC = CL = \frac{a}{2}$.

Построение сечения

Секущая плоскость проходит через три точки: I, K и C. Поскольку все три точки являются вершинами и точкой на ребре пирамиды, сечением будет треугольник IKC. Чтобы найти радиусы вписанной и описанной окружностей, нам нужно определить вид этого треугольника и найти длины его сторон.

1. Сторона IK является ребром тетраэдра, поэтому ее длина равна $IK = a$.

2. Сторона KC лежит в плоскости основания JKL. Треугольник JKL — равносторонний со стороной a. Отрезок KC является медианой, проведенной из вершины K к стороне JL (поскольку C — середина JL). В равностороннем треугольнике медиана также является высотой и биссектрисой. Длину медианы (высоты) равностороннего треугольника со стороной a можно найти по формуле: $KC = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

3. Сторона IC лежит в плоскости боковой грани IJL. Треугольник IJL также является равносторонним со стороной a. Отрезок IC является медианой, проведенной из вершины I к стороне JL. Его длина также равна: $IC = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Мы получили треугольник IKC со сторонами $IK = a$, $KC = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ и $IC = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Так как $KC = IC$, треугольник IKC — равнобедренный с основанием IK.

Ответ: Сечением пирамиды плоскостью IKC является равнобедренный треугольник IKC со сторонами $IK = a$ и $KC = IC = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Нахождение радиусов вписанной и описанной окружностей

Для нахождения радиусов нам понадобятся площадь (S) и полупериметр (p) треугольника IKC.

1. Найдем площадь треугольника IKC.
Проведем высоту CM из вершины C к основанию IK. Так как треугольник IKC равнобедренный, высота CM также является медианой, поэтому $IM = MK = \frac{IK}{2} = \frac{a}{2}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник IMC. По теореме Пифагора: $CM^2 = IC^2 - IM^2$ $CM^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$ $CM = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Площадь треугольника IKC равна: $S = \frac{1}{2} \cdot IK \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{4}$.

2. Найдем полупериметр треугольника IKC.
$p = \frac{IK + KC + IC}{2} = \frac{a + \frac{a\sqrt{3}}{2} + \frac{a\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{a + a\sqrt{3}}{2} = \frac{a(1 + \sqrt{3})}{2}$.

3. Найдем радиус вписанной окружности (r).
Формула радиуса вписанной окружности: $r = \frac{S}{p}$. $r = \frac{\frac{a^2\sqrt{2}}{4}}{\frac{a(1 + \sqrt{3})}{2}} = \frac{a^2\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{a(1 + \sqrt{3})} = \frac{a\sqrt{2}}{2(1 + \sqrt{3})}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $r = \frac{a\sqrt{2}}{2(1 + \sqrt{3})} \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{a\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)}{2(3 - 1)} = \frac{a(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$.

4. Найдем радиус описанной окружности (R).
Формула радиуса описанной окружности: $R = \frac{abc}{4S}$, где a, b, c — стороны треугольника. $R = \frac{IK \cdot KC \cdot IC}{4S} = \frac{a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{4 \cdot \frac{a^2\sqrt{2}}{4}} = \frac{a \cdot \frac{3a^2}{4}}{a^2\sqrt{2}} = \frac{\frac{3a^3}{4}}{a^2\sqrt{2}} = \frac{3a^3}{4a^2\sqrt{2}} = \frac{3a}{4\sqrt{2}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе: $R = \frac{3a}{4\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3a\sqrt{2}}{8}$.

Ответ: Радиус вписанной в сечение окружности равен $r = \frac{a(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$, радиус описанной около сечения окружности равен $R = \frac{3a\sqrt{2}}{8}$.