Номер 74, страница 43 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

74. Ребро основания правильной треугольной пирамиды и её боковое ребро соответственно равны $k$ и $l$. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через две вершины основания и середину бокового ребра.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$, где $ABC$ – основание, а $S$ – вершина. По условию, ребро основания равно $k$ (т.е. $AB = BC = CA = k$), а боковое ребро равно $l$ (т.е. $SA = SB = SC = l$).

Секущая плоскость проходит через две вершины основания, например $A$ и $B$, и середину бокового ребра, которое не исходит из этих вершин. Таким ребром является $SC$. Обозначим его середину точкой $M$. Искомое сечение представляет собой треугольник $ABM$.

Определим вид треугольника $ABM$ и длины его сторон. Сторона $AB$ является ребром основания, поэтому ее длина равна $k$. Боковые грани $SAC$ и $SBC$ представляют собой равные равнобедренные треугольники (так как $SA=SB=l$, $AC=BC=k$ и $SC$ – общая сторона). Отрезки $AM$ и $BM$ являются медианами в этих равных треугольниках, проведенными из вершин $A$ и $B$ к общей стороне $SC$. Следовательно, длины этих медиан равны: $AM = BM$. Таким образом, треугольник $ABM$ является равнобедренным с основанием $AB = k$.

Для нахождения площади треугольника $ABM$ необходимо знать его основание и высоту. Сначала найдем длину боковой стороны $AM$. Рассмотрим треугольник $SAC$. Длины его сторон: $SA = l$, $AC = k$, $SC = l$. Отрезок $AM$ является медианой к стороне $SC$. Воспользуемся формулой для длины медианы треугольника ($m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$):$AM = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot SA^2 + 2 \cdot AC^2 - SC^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2l^2 + 2k^2 - l^2} = \frac{1}{2}\sqrt{l^2 + 2k^2}$.

Теперь найдем высоту треугольника $ABM$. Проведем высоту $MH$ из вершины $M$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике $ABM$ высота $MH$ является также и медианой, поэтому точка $H$ – середина $AB$. Длина отрезка $AH$ равна $\frac{k}{2}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMH$ (с прямым углом $H$). По теореме Пифагора:$MH^2 = AM^2 - AH^2$$MH^2 = \left(\frac{1}{2}\sqrt{l^2 + 2k^2}\right)^2 - \left(\frac{k}{2}\right)^2 = \frac{l^2 + 2k^2}{4} - \frac{k^2}{4} = \frac{l^2 + k^2}{4}$. Отсюда, длина высоты $MH = \sqrt{\frac{l^2 + k^2}{4}} = \frac{\sqrt{l^2 + k^2}}{2}$.

Наконец, вычислим площадь сечения – треугольника $ABM$:$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot k \cdot \frac{\sqrt{l^2 + k^2}}{2} = \frac{k\sqrt{l^2 + k^2}}{4}$.

Ответ: $\frac{k}{4}\sqrt{l^2+k^2}$.