Номер 80, страница 44 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

80. Точки $A$ и $B$ лежат на рёбрах $KK_1$ и $LL_1$ треугольной призмы $KLMK_1L_1M_1$, а точка $C$ — на плоскости $KLM$ (рис. 124). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте сечение призмы плоскостью $ABC$.

Рис. 124

Для построения сечения призмы плоскостью, проходящей через точки A, B и C, применяется метод следов. Построение выполняется пошагово.

1. Точки A и B по условию лежат на ребрах KK₁ и LL₁. Эти ребра принадлежат одной боковой грани KLL₁K₁. Следовательно, точки A и B лежат в плоскости этой грани, и отрезок AB является линией пересечения секущей плоскости с гранью KLL₁K₁.

2. Найдем линию пересечения (след) секущей плоскости ABC с плоскостью основания KLM. Для построения прямой нужны две точки. Одна точка, C, уже дана и лежит в обеих плоскостях.

3. Для нахождения второй точки найдем пересечение какой-либо прямой, лежащей в секущей плоскости (например, прямой AB), с плоскостью основания. Прямые AB и KL лежат в одной плоскости грани KLL₁K₁ и не параллельны (в общем случае). Продлим отрезки AB и KL до их пересечения в точке P.

   $P = AB \cap KL$

   Поскольку точка P лежит на прямой AB, она принадлежит секущей плоскости ABC. Поскольку точка P лежит на прямой KL, она принадлежит плоскости основания KLM. Таким образом, точка P — вторая точка, принадлежащая и секущей плоскости, и плоскости основания.

4. Проведем прямую через точки P и C. Прямая PC является следом секущей плоскости ABC на плоскости основания KLM.

5. Найдем точки, в которых след PC пересекает ребра основания призмы, которые принадлежат треугольнику KLM.

   Пусть D — точка пересечения прямой PC с ребром KM: $D = PC \cap KM$.

   Пусть E — точка пересечения прямой PC с ребром LM: $E = PC \cap LM$.

   Отрезок DE — это линия пересечения секущей плоскости с гранью основания KLM.

6. Мы получили четыре вершины искомого сечения, которые лежат на ребрах призмы: A, B, E, D. Последовательно соединив эти точки, получим сечение. Каждая сторона полученного многоугольника лежит на одной из граней призмы:

   • Отрезок AB лежит в плоскости грани KLL₁K₁.
   • Отрезок BE лежит в плоскости грани LMM₁L₁ (так как точки B и E принадлежат ребрам этой грани).
   • Отрезок ED лежит в плоскости грани KLM.
   • Отрезок DA лежит в плоскости грани KMM₁K₁ (так как точки D и A принадлежат ребрам этой грани).

В результате построен четырехугольник ABED, который и является искомым сечением призмы.

Ответ: Искомое сечение призмы плоскостью ABC — это четырехугольник ABED, вершины которого A и B даны на ребрах KK₁ и LL₁, а вершины D и E являются точками пересечения следа секущей плоскости на основании с ребрами KM и LM соответственно.