Номер 82, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

82. Изобразите призму $MNOPM_1N_1O_1P_1$ и на её рёбрах $NN_1$, $MP$, $OP$ выберите точки $C, D, E$. Постройте сечение призмы плоскостью $CDE$.

Изобразите призму $MN OPM_1 N_1 O_1 P_1$ и на её рёбрах $NN_1, MP, OP$ выберите точки $C, D, E$.

Для решения задачи сначала изобразим произвольную четырехугольную призму $MN OPM_1 N_1 O_1 P_1$. Основаниями призмы являются четырехугольники $MNOP$ (нижнее) и $M_1 N_1 O_1 P_1$ (верхнее). Далее, в соответствии с условием, выберем на указанных ребрах три точки, которые будут задавать секущую плоскость:

• Точка $C$ выбирается на боковом ребре $NN_1$.
• Точка $D$ выбирается на ребре нижнего основания $MP$.
• Точка $E$ выбирается на ребре нижнего основания $OP$.

Конкретное расположение точек на ребрах не влияет на общий алгоритм построения сечения, который будет описан ниже.

Ответ: Изображение призмы и выбор точек являются первым этапом решения задачи и осуществляются в ходе построения сечения.

Постройте сечение призмы плоскостью $CDE$.

Построение сечения проведем методом следов. Этот метод заключается в последовательном нахождении линий пересечения (следов) секущей плоскости $(CDE)$ с плоскостями граней призмы.

1. Точки $D$ и $E$ лежат в одной плоскости — плоскости нижнего основания $(MNOP)$, а также в секущей плоскости $(CDE)$. Следовательно, отрезок $DE$ является линией пересечения этих плоскостей и одной из сторон искомого сечения.
2. Найдем точку пересечения секущей плоскости с ребром $MM_1$. Для этого в плоскости основания продлим прямую $DE$ и ребро $MN$ до их пересечения в точке $X$. То есть, $X = DE \cap MN$. Точка $X$ лежит на прямой $DE$, а значит, и в секущей плоскости $(CDE)$. Также $X$ лежит на прямой $MN$, а значит, в плоскости боковой грани $(MNN_1M_1)$.
3. Точка $C$ по условию также лежит в обеих этих плоскостях (в секущей и в плоскости грани $(MNN_1M_1)$). Таким образом, прямая $CX$ является следом секущей плоскости на плоскости грани $(MNN_1M_1)$. Эта прямая пересечет ребро $MM_1$ в искомой точке $F$. То есть, $F = CX \cap MM_1$. Точка $F$ является вершиной сечения.
4. Аналогично найдем точку сечения на ребре $OO_1$. Продлим прямую $DE$ до пересечения с продолжением ребра $NO$ в точке $Y$. То есть, $Y = DE \cap NO$. Точка $Y$ и точка $C$ определяют след секущей плоскости на грани $(NOO_1N_1)$. Прямая $CY$ пересечет ребро $OO_1$ в искомой точке $G$. То есть, $G = CY \cap OO_1$. Точка $G$ также является вершиной сечения.
5. Мы получили все пять вершин сечения: $C$ (на $NN_1$), $D$ (на $MP$), $E$ (на $OP$), $F$ (на $MM_1$) и $G$ (на $OO_1$). Последовательно соединяя вершины, лежащие на одной грани, получаем искомый многоугольник сечения.
   • Отрезок $CF$ в грани $(MNN_1M_1)$.
   • Отрезок $FD$ в грани $(MPP_1M_1)$.
   • Отрезок $DE$ в грани $(MNOP)$.
   • Отрезок $EG$ в грани $(OPP_1O_1)$.
   • Отрезок $GC$ в грани $(NOO_1N_1)$.

Ответ: Искомое сечение призмы плоскостью $(CDE)$ — это пятиугольник $CFDEG$.