Номер 83, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

83. Дана правильная призма $XYZX_1Y_1Z_1$, все рёбра которой равны друг другу. Найдите площадь сечения призмы плоскостью $XY_1Z_1$, учитывая, что полная поверхность призмы равна $S$.

Пусть ребро правильной призмы $XYZX_1Y_1Z_1$ равно $a$. Поскольку призма правильная, в ее основании лежит правильный (равносторонний) треугольник $XYZ$ со стороной $a$. По условию все рёбра призмы равны, значит боковые рёбра $XX_1$, $YY_1$, $ZZ_1$ также равны $a$, и они перпендикулярны основаниям.

Полная поверхность призмы $S$ складывается из площади двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$). Площадь основания (равностороннего треугольника со стороной $a$) равна:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$Боковая поверхность состоит из трех одинаковых квадратов со стороной $a$, так как боковые рёбра перпендикулярны рёбрам основания и равны им по длине. Площадь боковой поверхности:$S_{бок} = 3a^2$Таким образом, полная поверхность призмы:$S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + 3a^2 = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + 3a^2 = a^2\left(3 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = a^2\frac{6+\sqrt{3}}{2}$

Из этого соотношения выразим $a^2$:$a^2 = \frac{2S}{6+\sqrt{3}}$

Теперь найдем площадь сечения призмы плоскостью $XY_1Z_1$. Сечением является треугольник $XY_1Z_1$. Определим длины его сторон. Сторона $Y_1Z_1$ — это ребро верхнего основания, поэтому $|Y_1Z_1| = a$. Стороны $XY_1$ и $XZ_1$ — это диагонали боковых граней-квадратов $XYY_1X_1$ и $XZZ_1X_1$ соответственно. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $XYY_1$:$|XY_1|^2 = |XY|^2 + |YY_1|^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$$|XY_1| = a\sqrt{2}$Аналогично, $|XZ_1| = a\sqrt{2}$.

Итак, сечение $XY_1Z_1$ — это равнобедренный треугольник с основанием $|Y_1Z_1| = a$ и боковыми сторонами $|XY_1| = |XZ_1| = a\sqrt{2}$. Найдем площадь этого треугольника, $S_{сеч}$. Проведём высоту $h$ из вершины $X$ к основанию $Y_1Z_1$. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому она делит основание $Y_1Z_1$ на два отрезка длиной $\frac{a}{2}$. По теореме Пифагора:$h^2 = |XY_1|^2 - \left(\frac{|Y_1Z_1|}{2}\right)^2 = (a\sqrt{2})^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 2a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{7a^2}{4}$$h = \sqrt{\frac{7a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{7}}{2}$Площадь сечения равна:$S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot |Y_1Z_1| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{7}}{2} = \frac{a^2\sqrt{7}}{4}$

Подставим в полученную формулу выражение для $a^2$, которое мы нашли ранее: $a^2 = \frac{2S}{6+\sqrt{3}}$.$S_{сеч} = \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \left(\frac{2S}{6+\sqrt{3}}\right) = \frac{2S\sqrt{7}}{4(6+\sqrt{3})} = \frac{S\sqrt{7}}{2(6+\sqrt{3})}$Для упрощения ответа избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $(6 - \sqrt{3})$:$S_{сеч} = \frac{S\sqrt{7}(6 - \sqrt{3})}{2(6 + \sqrt{3})(6 - \sqrt{3})} = \frac{S(6\sqrt{7} - \sqrt{21})}{2(6^2 - (\sqrt{3})^2)} = \frac{S(6\sqrt{7} - \sqrt{21})}{2(36 - 3)} = \frac{S(6\sqrt{7} - \sqrt{21})}{2 \cdot 33} = \frac{S(6\sqrt{7} - \sqrt{21})}{66}$

Ответ: $\frac{S(6\sqrt{7} - \sqrt{21})}{66}$