Номер 89, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

89. Точка $A$ лежит на ребре $PQ$ треугольной пирамиды $PQRS$, точка $B$ — на луче $QR$ за точкой $R$, а точка $C$ — на плоскости $QRS$ (рис. 128). Постройте сечение пирамиды плоскостью $ABC$.

Рис. 128

Для построения сечения пирамиды $PQRS$ плоскостью $ABC$ необходимо найти точки пересечения этой плоскости с ребрами пирамиды и соединить их. Построение будем выполнять пошагово.

1. Построение линии пересечения секущей плоскости $ABC$ с плоскостью основания $QRS$.

Точки $B$ и $C$ по условию лежат в плоскости основания $QRS$. Одновременно они принадлежат секущей плоскости $ABC$. Следовательно, прямая, проходящая через точки $B$ и $C$, является линией пересечения плоскости $ABC$ и плоскости $QRS$. Эту прямую называют следом секущей плоскости на плоскости основания.

Проведем прямую $BC$. Эта прямая пересечет ребра основания $QS$ и $RS$ в некоторых точках. Обозначим эти точки:

• $N$ — точка пересечения прямой $BC$ и ребра $QS$. Таким образом, $N = BC \cap QS$.
• $M$ — точка пересечения прямой $BC$ и ребра $RS$. Таким образом, $M = BC \cap RS$.

Так как точки $N$ и $M$ лежат на ребрах пирамиды и на прямой $BC$ (которая лежит в секущей плоскости), то отрезок $NM$ является одной из сторон искомого сечения.

2. Построение линии пересечения секущей плоскости $ABC$ с плоскостью боковой грани $PQR$.

Точка $A$ по условию лежит на ребре $PQ$, а значит, принадлежит плоскости грани $PQR$. Точка $B$ лежит на луче $QR$, который является продолжением ребра $QR$, следовательно, точка $B$ также принадлежит плоскости грани $PQR$.

Поскольку обе точки, $A$ и $B$, принадлежат и секущей плоскости $ABC$, и плоскости грани $PQR$, прямая $AB$ является линией их пересечения.

Проведем прямую $AB$. Эта прямая пересечет ребро $PR$, так как точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $PR$ в плоскости $PQR$. Обозначим точку пересечения:

• $K$ — точка пересечения прямой $AB$ и ребра $PR$. Таким образом, $K = AB \cap PR$.

Точка $K$ лежит на ребре $PR$ и в секущей плоскости, значит, является одной из вершин сечения.

3. Завершение построения сечения.

На данный момент мы имеем четыре точки, являющиеся вершинами искомого сечения: $A$ на ребре $PQ$, $N$ на ребре $QS$, $M$ на ребре $RS$ и $K$ на ребре $PR$. Для получения многоугольника сечения необходимо последовательно соединить эти точки отрезками.

• Отрезок $AN$ лежит в плоскости грани $PQS$, так как точки $A$ и $N$ принадлежат этой плоскости.
• Отрезок $NM$ лежит в плоскости основания $QRS$ (построен в шаге 1).
• Отрезок $MK$ лежит в плоскости грани $PRS$, так как точки $M$ и $K$ принадлежат этой плоскости.
• Отрезок $KA$ лежит в плоскости грани $PQR$, так как точки $K$ и $A$ принадлежат этой плоскости.

Полученный четырехугольник $ANMK$ является искомым сечением пирамиды $PQRS$ плоскостью $ABC$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $ANMK$, вершины которого строятся как точки пересечения: $N = BC \cap QS$, $M = BC \cap RS$ и $K = AB \cap PR$.