Номер 68, страница 43 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

68. Рёбра $UX$, $UZ$, $UU_1$ прямоугольного параллелепипеда $UXYZU_1X_1Y_1Z_1$ равны 6 см, 6 см, 8 см соответственно. Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью $XY_1Z$ является равнобедренным треугольником, и найдите высоты этого треугольника.

Доказательство того, что сечение параллелепипеда плоскостью $XY_1Z$ является равнобедренным треугольником.

Чтобы доказать, что треугольник $XY_1Z$ является равнобедренным, необходимо найти длины его сторон. Дан прямоугольный параллелепипед $UXYZU_1X_1Y_1Z_1$ с рёбрами $UX = 6$ см, $UZ = 6$ см и $UU_1 = 8$ см.

Сторона сечения $XZ$ является диагональю основания $UXYZ$. Так как рёбра $UX$ и $UZ$ перпендикулярны, треугольник $UXZ$ — прямоугольный. По теореме Пифагора: $XZ^2 = UX^2 + UZ^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$, следовательно, $XZ = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ см.

Сторона сечения $XY_1$ является диагональю боковой грани $XYY_1X_1$. Эта грань — прямоугольник со сторонами $XY = UZ = 6$ см и $YY_1 = UU_1 = 8$ см. Треугольник $XYY_1$ — прямоугольный. По теореме Пифагора: $XY_1^2 = XY^2 + YY_1^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, следовательно, $XY_1 = \sqrt{100} = 10$ см.

Сторона сечения $Y_1Z$ является диагональю боковой грани $YZZ_1Y_1$. Эта грань — прямоугольник со сторонами $YZ = UX = 6$ см и $ZZ_1 = UU_1 = 8$ см. Треугольник $Y_1Z_1Z$ — прямоугольный. По теореме Пифагора: $Y_1Z^2 = Y_1Z_1^2 + Z_1Z^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, следовательно, $Y_1Z = \sqrt{100} = 10$ см.

Так как две стороны треугольника $XY_1Z$ равны ($XY_1 = Y_1Z = 10$ см), то он является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.

Нахождение высот этого треугольника.

В равнобедренном треугольнике $XY_1Z$ боковые стороны равны 10 см, а основание $XZ = 6\sqrt{2}$ см. Треугольник имеет одну высоту, проведённую к основанию, и две равные высоты, проведённые к боковым сторонам.

Высота $h_1$, проведённая к основанию $XZ$, является также медианой и делит основание на два отрезка по $3\sqrt{2}$ см. Из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной (гипотенуза), высотой и половиной основания (катеты), по теореме Пифагора находим высоту: $h_1^2 = 10^2 - (3\sqrt{2})^2 = 100 - 18 = 82$. $h_1 = \sqrt{82}$ см.

Высоту $h_2$, проведённую к боковой стороне, найдём через площадь треугольника $S$. С одной стороны, площадь равна: $S = \frac{1}{2} \cdot XZ \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{82} = 3\sqrt{164} = 3\sqrt{4 \cdot 41} = 6\sqrt{41}$ см$^2$.

С другой стороны, площадь равна: $S = \frac{1}{2} \cdot (\text{боковая сторона}) \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h_2 = 5h_2$.

Приравнивая выражения для площади, получаем: $5h_2 = 6\sqrt{41}$, откуда $h_2 = \frac{6\sqrt{41}}{5}$ см.

Ответ: высоты треугольника равны $\sqrt{82}$ см, $\frac{6\sqrt{41}}{5}$ см и $\frac{6\sqrt{41}}{5}$ см.