Номер 66, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

66. Постройте сечение пирамиды $ABCD$ плоскостью, проходящей через середины рёбер $AB$, $AC$, $AD$. Найдите площадь этого сечения, учитывая, что все рёбра этой пирамиды равны $a$.

Построение сечения

Пусть $M, N, P$ — середины рёбер $AB, AC, AD$ пирамиды $ABCD$ соответственно. Так как секущая плоскость проходит через эти три точки, искомым сечением является треугольник $MNP$.

По условию, все рёбра пирамиды равны $a$. Это означает, что все четыре грани пирамиды ($ABC, ACD, ABD, BCD$) являются равносторонними треугольниками со стороной $a$.

Рассмотрим грань $ABC$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$, поэтому $MN$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, её длина равна половине длины стороны $BC$. Так как $BC = a$, то $MN = \frac{a}{2}$.

Аналогично, рассматривая треугольники $ACD$ и $ABD$, находим, что $NP$ и $MP$ — их средние линии:

$NP$ — средняя линия $\triangle ACD$, поэтому $NP = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2}$.

$MP$ — средняя линия $\triangle ABD$, поэтому $MP = \frac{1}{2}BD = \frac{a}{2}$.

Таким образом, сечение $MNP$ — это треугольник, все стороны которого равны $\frac{a}{2}$. Следовательно, сечение является равносторонним треугольником.

Ответ: Сечением является равносторонний треугольник со стороной $\frac{a}{2}$.

Нахождение площади сечения

Как было установлено, сечение является равносторонним треугольником со стороной $s = \frac{a}{2}$.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{s^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим в эту формулу длину стороны нашего сечения $s = \frac{a}{2}$:

$S_{сечения} = \frac{(\frac{a}{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{a^2}{4} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{16}$.

Ответ: $\frac{a^2 \sqrt{3}}{16}$.