Номер 5, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

5. Правда ли, что сечением пятиугольной призмы может быть:

а) отрезок;

б) четырёхугольник;

в) шестиугольник;

г) семиугольник;

д) восьмиугольник?

Для ответа на этот вопрос проанализируем, как плоскость может пересекать пятиугольную призму. Пятиугольная призма — это многогранник, у которого есть два основания (пятиугольники) и пять боковых граней (параллелограммы). Всего у такой призмы $2 + 5 = 7$ граней.

Сечение многогранника плоскостью представляет собой многоугольник. Количество сторон этого многоугольника равно количеству граней, которые пересекает секущая плоскость. Максимальное количество сторон в сечении выпуклого многогранника равно количеству его граней.

а) отрезок

Да, сечением может быть отрезок. Это вырожденный случай. Если секущая плоскость касается призмы вдоль одного из ее ребер (например, бокового ребра) и не входит в ее внутреннюю область, то их пересечением будет это ребро, которое является отрезком.
Ответ: Да, правда.

б) четырёхугольник

Да, сечением может быть четырёхугольник. Для этого секущая плоскость должна пересечь 4 грани призмы. Например, если провести плоскость, параллельную боковым ребрам (для прямой призмы — вертикальную плоскость), так, чтобы она пересекала оба основания и две боковые грани. В результате получится четырёхугольник (в общем случае — трапеция). Другой пример: плоскость, проходящая через два несоседних боковых ребра, образует в сечении параллелограмм.
Ответ: Да, правда.

в) шестиугольник

Да, сечением может быть шестиугольник. Для этого секущая плоскость должна пересечь 6 из 7 граней призмы. Такое возможно, если наклонить плоскость так, чтобы она пересекла оба основания и четыре из пяти боковых граней, не задев пятую боковую грань.
Ответ: Да, правда.

г) семиугольник

Да, сечением может быть семиугольник. Пятиугольная призма имеет 7 граней. Максимальное число сторон многоугольника, который может получиться в сечении, равно числу граней призмы. Если расположить секущую плоскость под таким углом, чтобы она не была параллельна ни одной из граней и ни одному из ребер, она может пересечь все 7 граней призмы (оба основания и все пять боковых граней). В этом случае в сечении получится семиугольник.
Ответ: Да, правда.

д) восьмиугольник

Нет, сечением не может быть восьмиугольник. Восьмиугольник имеет 8 сторон. Чтобы в сечении получился восьмиугольник, секущая плоскость должна была бы пересечь 8 различных граней. Однако у пятиугольной призмы всего 7 граней. Так как плоскость не может пересечь больше граней, чем есть у многогранника, то получить в сечении восьмиугольник невозможно.
Ответ: Нет, неправда.