Номер 61, страница 35 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

61*. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 8 см, а её боковая поверхность — $16\sqrt{15}$ см2. Найдите сторону основания пирамиды, учитывая, что радиус окружности, вписанной в боковую грань, равен $2\sqrt{0,6}$ см.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида. В основании лежит квадрат со стороной $a$, которую нам предстоит найти. Боковые ребра равны $l=8$ см. Боковые грани - это четыре равных равнобедренных треугольника со сторонами $l, l, a$ (то есть 8 см, 8 см и $a$ см).

1. Найдем площадь одной боковой грани

Боковая поверхность пирамиды $S_{бок}$ состоит из площадей четырех одинаковых боковых граней. Площадь боковой поверхности дана по условию: $S_{бок} = 16\sqrt{15}$ см². Следовательно, площадь одной боковой грани ($S_{грань}$) равна: $S_{грань} = \frac{S_{бок}}{4} = \frac{16\sqrt{15}}{4} = 4\sqrt{15}$ см².

2. Используем формулу площади треугольника через радиус вписанной окружности

Площадь любого треугольника можно выразить через его полупериметр $p$ и радиус вписанной в него окружности $r$ по формуле: $S = p \cdot r$.

Рассмотрим боковую грань, которая является равнобедренным треугольником со сторонами 8 см, 8 см и $a$ см. Ее полупериметр $p$ равен: $p = \frac{8 + 8 + a}{2} = \frac{16 + a}{2} = 8 + \frac{a}{2}$.

Радиус вписанной в боковую грань окружности дан по условию: $r = 2\sqrt{0,6}$ см. Преобразуем значение радиуса для удобства вычислений: $r = 2\sqrt{0,6} = 2\sqrt{\frac{6}{10}} = 2\sqrt{\frac{3}{5}} = 2\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = 2\frac{\sqrt{3}\sqrt{5}}{5} = \frac{2\sqrt{15}}{5}$ см.

3. Найдем сторону основания $a$

Теперь подставим известные значения $S_{грань}$, $p$ и $r$ в формулу площади: $S_{грань} = p \cdot r$ $4\sqrt{15} = (8 + \frac{a}{2}) \cdot \frac{2\sqrt{15}}{5}$.

Разделим обе части уравнения на $2\sqrt{15}$ (так как $2\sqrt{15} \neq 0$): $2 = (8 + \frac{a}{2}) \cdot \frac{1}{5}$.

Умножим обе части на 5: $10 = 8 + \frac{a}{2}$.

Вычтем 8 из обеих частей: $2 = \frac{a}{2}$.

Отсюда находим $a$: $a = 4$ см.

Ответ: 4 см.