Номер 54, страница 35 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

54. Медианы $BB_1$ и $NN_1$ грани $BKN$ четырёхугольной пирамиды $BKLMN$ пересекаются в точке $G$ (рис. 99). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте точку, в которой прямая $MG$ пересекает плоскость $BLN$.

Рис. 99

Для построения точки пересечения прямой $MG$ и плоскости $BLN$ воспользуемся методом вспомогательных плоскостей. Алгоритм построения будет следующим:

Построение точки, в которой прямая MG пересекает плоскость BLN

1. Прямая $MG$ и плоскость $BLN$ являются искомыми объектами. Чтобы найти их точку пересечения, нужно выбрать вспомогательную плоскость, содержащую прямую $MG$.

2. По условию, $G$ — точка пересечения медиан $BB_1$ и $NN_1$ грани $BKN$. Это означает, что точка $G$ лежит на медиане $BB_1$. Следовательно, точки $M, G, B, B_1$ лежат в одной плоскости. Выберем плоскость $(MBB_1)$ в качестве вспомогательной. Прямая $MG$ лежит в этой плоскости.

3. Теперь найдем линию пересечения вспомогательной плоскости $(MBB_1)$ с искомой плоскостью $(BLN)$. Для этого нужно найти две общие точки этих плоскостей.

   • Точка $B$ принадлежит обеим плоскостям по построению. Это первая общая точка.

   • Чтобы найти вторую общую точку, рассмотрим прямые $MB_1$ и $LN$. По определению, $B_1$ — середина стороны $KN$. Обе прямые, $MB_1$ и $LN$, лежат в плоскости основания пирамиды $(KLMN)$. Предположим, что они не параллельны, тогда они пересекаются. Обозначим точку их пересечения буквой $P$.

     $P = MB_1 \cap LN$

   • Так как точка $P$ лежит на прямой $MB_1$, она принадлежит вспомогательной плоскости $(MBB_1)$.

   • Так как точка $P$ лежит на прямой $LN$, она принадлежит искомой плоскости $(BLN)$.

   • Следовательно, точка $P$ является второй общей точкой для плоскостей $(MBB_1)$ и $(BLN)$.

4. Линией пересечения плоскостей $(MBB_1)$ и $(BLN)$ является прямая $BP$.

5. Искомая точка пересечения прямой $MG$ с плоскостью $(BLN)$ должна лежать на линии пересечения $BP$. Поскольку прямые $MG$ и $BP$ обе лежат во вспомогательной плоскости $(MBB_1)$, они пересекаются (если не параллельны). Обозначим точку их пересечения буквой $X$.

   $X = MG \cap BP$

6. Точка $X$ принадлежит прямой $MG$. Точка $X$ также принадлежит прямой $BP$, а значит, и плоскости $(BLN)$. Таким образом, $X$ — это искомая точка пересечения прямой $MG$ и плоскости $(BLN)$.

Краткий алгоритм построения:

1. Найти середину отрезка $KN$, обозначить ее $B_1$.

2. Провести прямые $MB_1$ и $LN$. Найти их точку пересечения $P$.

3. Провести прямую $BP$.

4. Провести прямую $MG$.

5. Найти точку пересечения прямых $MG$ и $BP$. Эта точка и будет искомой.

Ответ: Точка пересечения прямой $MG$ и плоскости $BLN$ — это точка $X$, являющаяся пересечением прямых $MG$ и $BP$, где $P$ — точка пересечения прямых $MB_1$ и $LN$, а $B_1$ — середина отрезка $KN$.