Номер 47, страница 34 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

47. Точки $A, B, C$ являются серединами рёбер $T_1U_1, U_1V_1, V_1V$ параллелепипеда $TUVWT_1U_1V_1W_1$. Постройте:

а) точку, в которой прямая $AB$ пересекает плоскость $WW_1V_1$;

б) прямую, по которой плоскость $ABC$ пересекает плоскость $WW_1V_1$.

а) точку, в которой прямая AB пересекает плоскость WW₁V₁;

Для построения точки пересечения прямой $AB$ и плоскости $(WW_1V_1)$ используется метод следов или метод вспомогательных плоскостей.

1. Определим плоскость, в которой лежит прямая $AB$. Точки $A$ и $B$ являются серединами рёбер $T_1U_1$ и $U_1V_1$ соответственно. Оба этих ребра принадлежат плоскости верхнего основания параллелепипеда $(T_1U_1V_1W_1)$. Следовательно, прямая $AB$ также лежит в этой плоскости.

2. Найдём линию пересечения плоскости $(T_1U_1V_1W_1)$ с плоскостью $(WW_1V_1)$. Плоскость $(WW_1V_1)$ является боковой гранью параллелепипеда, её полное обозначение — $(WW_1V_1V)$. Общим ребром для плоскостей $(T_1U_1V_1W_1)$ и $(WW_1V_1V)$ является ребро $W_1V_1$. Значит, эти плоскости пересекаются по прямой $W_1V_1$.

3. Точка пересечения прямой $AB$ с плоскостью $(WW_1V_1)$ должна лежать на линии пересечения плоскости, содержащей $AB$, с плоскостью $(WW_1V_1)$. Таким образом, искомая точка — это точка пересечения прямых $AB$ и $W_1V_1$.

4. Обе прямые, $AB$ и $W_1V_1$, лежат в одной плоскости $(T_1U_1V_1W_1)$. В треугольнике $T_1U_1V_1$ отрезок $AB$ является средней линией. По свойству средней линии, $AB$ параллельна стороне $T_1V_1$. Прямая $W_1V_1$ не параллельна диагонали $T_1V_1$ (они пересекаются в точке $V_1$), следовательно, прямые $AB$ и $W_1V_1$ не параллельны друг другу и пересекаются.

5. Построение: В плоскости верхнего основания $(T_1U_1V_1W_1)$ продлим отрезки $AB$ и $W_1V_1$ до их пересечения. Обозначим полученную точку $K$. Точка $K$ принадлежит прямой $AB$ и прямой $W_1V_1$. Поскольку прямая $W_1V_1$ лежит в плоскости $(WW_1V_1)$, то и точка $K$ лежит в этой плоскости. Следовательно, $K$ — искомая точка пересечения.

Ответ: Искомая точка — это точка $K$, которая является точкой пересечения прямых $AB$ и $W_1V_1$.

б) прямую, по которой плоскость ABC пересекает плоскость WW₁V₁;

Для построения прямой пересечения двух плоскостей необходимо найти две их общие точки и провести через них прямую.

1. Первая общая точка. В пункте (а) мы построили точку $K$.

• По построению, точка $K$ лежит на прямой $AB$. Так как прямая $AB$ лежит в плоскости $(ABC)$, то и точка $K$ принадлежит плоскости $(ABC)$.
• Также по построению, точка $K$ лежит на прямой $W_1V_1$. Так как прямая $W_1V_1$ лежит в плоскости $(WW_1V_1)$, то и точка $K$ принадлежит плоскости $(WW_1V_1)$.

Таким образом, точка $K$ является общей для обеих плоскостей и лежит на их линии пересечения.

2. Вторая общая точка. Рассмотрим точку $C$.

• По условию, точка $C$ является серединой ребра $V_1V$. Ребро $V_1V$ принадлежит грани $WW_1V_1V$, следовательно, точка $C$ лежит в плоскости $(WW_1V_1)$.
• По определению плоскости $(ABC)$, точка $C$ также принадлежит этой плоскости.

Таким образом, точка $C$ также является общей для обеих плоскостей.

3. Построение: Поскольку точки $K$ и $C$ принадлежат обеим плоскостям, $(ABC)$ и $(WW_1V_1)$, то прямая, проходящая через эти две точки, является линией их пересечения.

Ответ: Искомая прямая пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(WW_1V_1)$ — это прямая $KC$.