Номер 49, страница 34 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

49. Имеется параллелепипед $BCDEB_1C_1D_1E_1$. Постройте:

a) точку пересечения прямой $EE_1$ с линией пересечения плоскостей $BC_1D$ и $C_1CE$;

б) линию пересечения плоскостей $BC_1D$ и $EDD_1$.

Для решения задачи сначала представим параллелепипед $BCDEB_1C_1D_1E_1$. В нём основанием является параллелограмм $BCDE$, а верхним основанием — параллелограмм $B_1C_1D_1E_1$. Боковые рёбра $BB_1, CC_1, DD_1, EE_1$ параллельны и равны.

а) точка пересечения прямой $EE_1$ с линией пересечения плоскостей $BC_1D$ и $C_1CE$

Решение состоит из двух этапов: сначала найдём линию пересечения двух плоскостей, а затем найдём точку пересечения этой линии с заданной прямой.

1. Нахождение линии пересечения плоскостей $(BC_1D)$ и $(C_1CE)$.

Чтобы найти линию пересечения двух плоскостей, необходимо найти две их общие точки.

• Одна общая точка очевидна из названия плоскостей — это точка $C_1$.
• Для нахождения второй общей точки рассмотрим прямые, лежащие в этих плоскостях. Прямая $BD$ лежит в плоскости $(BC_1D)$, а прямая $CE$ лежит в плоскости $(C_1CE)$. Обе эти прямые лежат в плоскости нижнего основания $(BCDE)$.
• Так как $BCDE$ — параллелограмм, его диагонали $BD$ и $CE$ пересекаются. Обозначим точку их пересечения буквой $O$.
• Поскольку точка $O$ лежит на прямой $BD$, она принадлежит плоскости $(BC_1D)$.
• Поскольку точка $O$ лежит на прямой $CE$, она принадлежит плоскости $(C_1CE)$.
• Следовательно, точка $O$ является второй общей точкой для данных плоскостей.

Таким образом, линия пересечения плоскостей $(BC_1D)$ и $(C_1CE)$ — это прямая $C_1O$.

2. Нахождение точки пересечения прямой $EE_1$ с прямой $C_1O$.

Обозначим искомую точку буквой $K$. Чтобы прямые $EE_1$ и $C_1O$ пересеклись, они должны лежать в одной плоскости. Рассмотрим плоскость боковой грани $CC_1E_1E$.

• Прямая $EE_1$ является ребром этой грани, поэтому она лежит в плоскости $(CC_1E_1E)$.
• Точка $C_1$ также лежит в этой плоскости.
• Точка $O$ — середина диагонали $CE$ параллелограмма $BCDE$. Так как отрезок $CE$ является стороной грани $CC_1E_1E$, точка $O$ лежит в плоскости этой грани.
• Поскольку обе точки, $C_1$ и $O$, лежат в плоскости $(CC_1E_1E)$, то и вся прямая $C_1O$ лежит в этой плоскости.

Прямые $EE_1$ и $C_1O$ лежат в одной плоскости $(CC_1E_1E)$ и не параллельны, следовательно, они пересекаются. Для нахождения их точки пересечения $K$ рассмотрим треугольники $\triangle OEK$ и $\triangle OCC_1$ в этой плоскости.

• Боковые рёбра параллелепипеда параллельны, т.е. $CC_1 \parallel EE_1$.
• $\angle EOK = \angle COC_1$ как вертикальные углы.
• $\angle OEK + \angle OCC_1 = 180^\circ$ как внутренние односторонние при параллельных $CC_1$ и $EK$ и секущей $CE$.
• $\angle EKO = \angle CC_1O$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $CC_1$ и $EK$ (часть прямой $EE_1$) и секущей $C_1K$.

Из равенства углов следует, что $\triangle OEK \sim \triangle OCC_1$. Из подобия имеем отношение сторон: $ \frac{EK}{CC_1} = \frac{OE}{OC} $ По свойству диагоналей параллелограмма $O$ — середина $CE$, поэтому $OE = OC$. Следовательно, $\frac{OE}{OC} = 1$. Тогда $\frac{EK}{CC_1} = 1$, откуда $EK = CC_1$. Так как в параллелепипеде $CC_1 = EE_1$, получаем $EK = EE_1$. При этом точка $K$ лежит на прямой $EE_1$ вне отрезка $E_1E$, так что $E$ является серединой отрезка $KE_1$.

Построение:

1. В плоскости основания $BCDE$ строим диагонали $BD$ и $CE$. Находим точку их пересечения $O$.
2. Строим прямую $C_1O$.
3. Продолжаем прямую $C_1O$ до пересечения с прямой $EE_1$. Точка их пересечения $K$ и есть искомая точка.

Ответ: Искомая точка $K$ — это точка пересечения прямых $C_1O$ и $EE_1$, где $O$ — точка пересечения диагоналей основания $BCDE$. Точка $K$ лежит на продолжении ребра $E_1E$ за точку $E$ на расстоянии, равном длине этого ребра ($EK=EE_1$).

б) линию пересечения плоскостей $BC_1D$ и $EDD_1$

Для построения линии пересечения двух плоскостей найдём две их общие точки.

1. Нахождение первой общей точки.

Точка $D$ принадлежит плоскости $(BC_1D)$ по определению. Плоскость $(EDD_1)$ — это плоскость боковой грани $EDD_1E_1$, которая также содержит точку $D$. Следовательно, $D$ — одна из точек на линии пересечения.

2. Нахождение второй общей точки.

Для нахождения второй точки воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей. В качестве вспомогательной плоскости выберем плоскость верхнего основания $(B_1C_1D_1E_1)$.

• Найдём линию пересечения плоскости $(BC_1D)$ с плоскостью верхнего основания. Обозначим её $l_1$. Точка $C_1$ принадлежит обеим этим плоскостям, значит, $C_1 \in l_1$. Плоскость $(BC_1D)$ пересекает параллельные плоскости оснований $(BCDE)$ и $(B_1C_1D_1E_1)$. Линия пересечения с нижним основанием — это прямая $BD$. По свойству, линии пересечения с параллельными плоскостями должны быть параллельны. Значит, $l_1$ — это прямая, проходящая через $C_1$ параллельно $BD$ (и, соответственно, $B_1D_1$).
• Найдём линию пересечения плоскости $(EDD_1)$ с плоскостью верхнего основания. Обозначим её $l_2$. Плоскость $(EDD_1)$ является гранью $EDD_1E_1$, поэтому её линия пересечения с плоскостью верхнего основания — это ребро $E_1D_1$. Итак, $l_2$ — это прямая $E_1D_1$.
• Вторая общая точка исходных плоскостей лежит на пересечении их следов на вспомогательной плоскости. Обозначим эту точку $F$. Таким образом, $F = l_1 \cap l_2$.

Точка $F$ является общей точкой для плоскостей $(BC_1D)$ (так как $F \in l_1$) и $(EDD_1)$ (так как $F \in l_2$).

3. Построение линии пересечения.

Искомая линия пересечения проходит через две найденные общие точки $D$ и $F$. Это прямая $DF$.

Построение:

1. В плоскости верхнего основания $B_1C_1D_1E_1$ проводим диагональ $B_1D_1$.
2. Через точку $C_1$ проводим прямую $l_1$, параллельную $B_1D_1$.
3. Находим точку $F$ как пересечение прямой $l_1$ и прямой $E_1D_1$.
4. Проводим прямую через точки $D$ и $F$. Эта прямая и является искомой линией пересечения.

Аналитическое замечание: Можно доказать, что вектор $\vec{BC_1}$ равен вектору $\vec{ED_1}$. Это означает, что прямая $BC_1$ параллельна прямой $ED_1$, которая лежит в плоскости $(EDD_1)$. Следовательно, прямая $BC_1$ параллельна плоскости $(EDD_1)$. По теореме, линия пересечения плоскости $(BC_1D)$ с плоскостью $(EDD_1)$ будет параллельна прямой $BC_1$. Так как эта линия проходит через точку $D$, то это прямая, проходящая через $D$ параллельно $BC_1$ (и $ED_1$). Построенная прямая $DF$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: Искомая линия пересечения — это прямая $DF$, где $D$ — вершина параллелепипеда, а $F$ — точка пересечения прямой $E_1D_1$ с прямой, проведённой через точку $C_1$ параллельно диагонали $B_1D_1$.