Номер 55, страница 35 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

55. Точку $M$ выберите на диагонали $DC_1$ грани треугольной призмы $CDEC_1D_1E_1$, точку $N$ — на отрезке $E_1F$, где $F$ — внутренняя точка ребра $DE$, точку $L$ — на луче $DD_1$ за точкой $D_1$ (рис. 100).

Постройте прямую, по которой плоскость $MNL$ пересекает плоскость $ECC_1$.

Рис. 100

Для построения прямой, по которой плоскость $(MNL)$ пересекает плоскость $(ECC_1)$, необходимо найти две общие точки этих плоскостей. Прямая, проходящая через эти две точки, и будет искомой прямой пересечения.

Нахождение первой общей точки

Точки $M$ и $L$ лежат в секущей плоскости $(MNL)$. Точка $M$ по условию принадлежит диагонали $DC_1$, а точка $L$ — лучу $DD_1$. Обе эти прямые, $DC_1$ и $DD_1$, лежат в плоскости боковой грани $(CDD_1C_1)$. Следовательно, точки $M$ и $L$, а значит и вся прямая $LM$, лежат в плоскости $(CDD_1C_1)$.

Рассмотрим прямую $CC_1$. Она является ребром призмы и принадлежит как плоскости грани $(CDD_1C_1)$, так и плоскости $(ECC_1)$.

Таким образом, прямые $LM$ и $CC_1$ обе лежат в плоскости $(CDD_1C_1)$. Боковые ребра призмы параллельны, то есть $CC_1 \parallel DD_1$. Прямая $LM$ пересекает прямую, содержащую ребро $DD_1$ (в точке $L$), следовательно, она не параллельна $CC_1$ и пересекает её. Обозначим точку пересечения буквой $P$.

$P = LM \cap CC_1$

Поскольку точка $P$ лежит на прямой $LM$, она принадлежит плоскости $(MNL)$. Поскольку точка $P$ лежит на прямой $CC_1$, она принадлежит плоскости $(ECC_1)$. Следовательно, точка $P$ — первая общая точка искомых плоскостей.

Нахождение второй общей точки

Точки $N$ и $L$ лежат в секущей плоскости $(MNL)$. Точка $L$ лежит на луче $DD_1$. Точка $F$ лежит на ребре $DE$, а точка $N$ — на отрезке $E_1F$. Все точки $D, E, E_1, D_1$ лежат в плоскости боковой грани $(DEE_1D_1)$. Так как $L$ лежит на прямой $DD_1$, $E_1$ принадлежит плоскости $(DEE_1D_1)$ и $F$ лежит на ребре $DE$ (которое также лежит в этой плоскости), то и точки $L$ и $N$ лежат в этой плоскости. Следовательно, вся прямая $LN$ также лежит в плоскости $(DEE_1D_1)$.

Рассмотрим прямую $EE_1$. Она является ребром призмы и принадлежит как плоскости грани $(DEE_1D_1)$, так и плоскости $(ECC_1)$.

Таким образом, прямые $LN$ и $EE_1$ обе лежат в плоскости $(DEE_1D_1)$. Так как $EE_1 \parallel DD_1$, а прямая $LN$ пересекает прямую $DD_1$ (в точке $L$), то она не параллельна $EE_1$ и пересекает её. Обозначим точку пересечения буквой $Q$.

$Q = LN \cap EE_1$

Поскольку точка $Q$ лежит на прямой $LN$, она принадлежит плоскости $(MNL)$. Поскольку точка $Q$ лежит на прямой $EE_1$, она принадлежит плоскости $(ECC_1)$. Следовательно, точка $Q$ — вторая общая точка искомых плоскостей.

Построение искомой прямой

Найденные точки $P$ и $Q$ принадлежат обеим плоскостям, $(MNL)$ и $(ECC_1)$. Следовательно, прямая $PQ$, проходящая через эти точки, является линией их пересечения.

Алгоритм построения:

1. Провести прямую через точки $L$ и $M$.
2. Найти точку пересечения прямой $LM$ с прямой $CC_1$. Обозначить её $P$.
3. Провести прямую через точки $L$ и $N$.
4. Найти точку пересечения прямой $LN$ с прямой $EE_1$. Обозначить её $Q$.
5. Провести прямую через точки $P$ и $Q$.

Прямая $PQ$ является искомой линией пересечения плоскости $(MNL)$ и плоскости $(ECC_1)$.

Ответ: Искомая прямая — это прямая $PQ$, где $P$ является точкой пересечения прямых $LM$ и $CC_1$, а $Q$ — точкой пересечения прямых $LN$ и $EE_1$.