Номер 58, страница 35 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

58. Точки $A$ и $B$ делят рёбра $QD$ и $QE$ правильной четырёхугольной пирамиды $QCDEF$ со всеми равными рёбрами в отношении $5 : 7$, если считать от вершины $Q$. Найдите полную поверхность пирамиды, учитывая, что длина ломаной $ABQFA$ равна $70$ см.

По условию, дана правильная четырёхугольная пирамида $QCDEF$, у которой все рёбра равны. Пусть длина ребра пирамиды равна $a$. Это означает, что основание $CDEF$ — квадрат со стороной $a$, а все боковые грани ($QCD$, $QDE$, $QEF$, $QFC$) — равносторонние треугольники со стороной $a$.

Точки $A$ и $B$ делят боковые рёбра $QD$ и $QE$ в отношении $5 : 7$, считая от вершины $Q$. Следовательно, рёбра делятся на $5+7=12$ частей. Длины отрезков от вершины $Q$ до точек $A$ и $B$ равны: $QA = QB = \frac{5}{12} \cdot a$

Длина ломаной $ABQFA$ — это сумма длин её составляющих отрезков: $L = AB + BQ + QF + FA$. Найдём длину каждого отрезка в зависимости от $a$.

1. Длина $BQ$: как мы уже определили, $BQ = \frac{5}{12}a$.

2. Длина $QF$: это ребро пирамиды, поэтому $QF = a$.

3. Длина $AB$: точки $A$ и $B$ лежат на рёбрах $QD$ и $QE$. Рассмотрим боковую грань $QDE$. Это равносторонний треугольник, так что угол $\angle DQE = 60^\circ$. В треугольнике $QAB$ стороны $QA = QB = \frac{5}{12}a$, а угол между ними $\angle AQB = 60^\circ$. Треугольник с двумя равными сторонами и углом $60^\circ$ между ними является равносторонним. Значит, $AB = QA = \frac{5}{12}a$.

4. Длина $FA$: рассмотрим треугольник $QFA$. Мы знаем длины двух его сторон: $QF=a$ и $QA=\frac{5}{12}a$. Найдём угол между ними, $\angle FQD$. Рёбра $QD$ и $QF$ являются противоположными боковыми рёбрами пирамиды (их основания, точки $D$ и $F$, являются противоположными вершинами квадрата). Чтобы найти угол, рассмотрим треугольник $QDF$. Его стороны $QD = a$ и $QF = a$. Третья сторона $DF$ — это диагональ квадрата $CDEF$ в основании, её длина равна $a\sqrt{2}$. Применим к треугольнику $QDF$ теорему косинусов: $DF^2 = QD^2 + QF^2 - 2 \cdot QD \cdot QF \cdot \cos(\angle FQD)$ $(a\sqrt{2})^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\angle FQD)$ $2a^2 = 2a^2 - 2a^2 \cos(\angle FQD)$ $0 = -2a^2 \cos(\angle FQD)$ Отсюда следует, что $\cos(\angle FQD) = 0$, значит, $\angle FQD = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $QFA$ является прямоугольным. По теореме Пифагора: $FA^2 = QF^2 + QA^2 = a^2 + (\frac{5}{12}a)^2 = a^2 + \frac{25}{144}a^2 = \frac{144a^2 + 25a^2}{144} = \frac{169a^2}{144}$ $FA = \sqrt{\frac{169a^2}{144}} = \frac{13}{12}a$.

Теперь вычислим общую длину ломаной: $L = AB + BQ + QF + FA = \frac{5}{12}a + \frac{5}{12}a + a + \frac{13}{12}a = \frac{5+5+12+13}{12}a = \frac{35}{12}a$.

По условию задачи, $L = 70$ см. Найдём $a$: $\frac{35}{12}a = 70$ $a = 70 \cdot \frac{12}{35} = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Теперь найдём полную поверхность пирамиды $S_{полн}$. Она складывается из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$. Площадь основания (квадрата со стороной $a=24$ см): $S_{осн} = a^2 = 24^2 = 576$ см$^2$. Площадь боковой поверхности (четыре равносторонних треугольника со стороной $a=24$ см): $S_{бок} = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3} = 24^2\sqrt{3} = 576\sqrt{3}$ см$^2$. Полная поверхность пирамиды: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 576 + 576\sqrt{3} = 576(1+\sqrt{3})$ см$^2$.

Ответ: $576(1+\sqrt{3})$ см$^2$.